308 Гл. 16 Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье-Стокса Через и и V уравнения могут быть записаны в форме

ci др . ( ри \ ди , ди (у - 1) dv 1 ди

(16.31)

др (v-I) ди . dv , (pv \ dv 1 дЪ

--+ J = -

(16.32)

В этих уравнениях пренебрегается зависимостью вязкости р от температуры, а безразмерная скорость звука определяется выражением

а2 = -! + . (16.33)

Если недифференцируемые члены, подобные а, ри, pv и т. д., в уравнениях (16.30) -(16.32) заморозить, а для р, и м v ввести разложение в комплексный ряд Фурье, подобное (16.24), можно получить следующий полином относительно Ох:

т 0 +1) - ( +I) # (+)]=

(16.34)

Л = а,+ уа,. (16.35)

Для внешних течений вдали от изолированного тела укороченные уравнения Навье -Стокса совпадают с уравнениями Эйлера, описывающими невязкие течения. В этой ситуации в уравнении (16.34) следует положить Re = оо. Уравнение при этом сводится к виду

(рт) + - K + D] = 0- (16.36)

Первый множитель имет корень ax/Oy = -v/u, а корни второго множителя равны

где локальное число Маха 1А= {и + vyf/a. Из (16.37) следует, что если течение локально дозвуковое, т. е. М < 1, образуются корни со знаком минус при мнимой части. Это приводит к экспоненциальному росту решения в маршевом (х) направлении, что согласуется с тем, что невязкие уравнения эллиптические при М < 1 и гиперболические при М > 1.

В более общем вязком случае следует использовать непосредственно уравнение (16.34). Поведение первого множителя эквивалентно поведению второго сомножителя в (16.27). Та есть, он не дает экспоненциально нарастающих мод при положительной скорости и. Второй множитель -квадратичный по-Ох и позволяет получить следующие значения корней:

Gx UV iyUGy

±11г=гИ-1)-(7ет)-] (16.38)

При больших значениях Re значение [ ] определяется членом (М- 1), который приводит к сильному экспоненциальному росту при дозвуковом течении.

Для течений с и <С а второй член в правой части (16.38) приводит к слабому эллиптическому поведению, как и любой член в [ ] при любой скорости. Таким образом, вязкие члены приводят к слабому экспоненциальному росту в направлении х, скорость которого уменьшается с увеличением Re. Данный результат, однако, может быть иным для эквивалентной турбулентной формы RNS-уравнений.

Легко видеть, что и в невязком, и вязком случаях дозвуковой поток приводит к сильному экспоненциальному росту в направлении X. Однако если можно было бы подавить член др/дх в уравнении (16.13), в невязком случае не образовывалась бы экспоненциально нарастающая по х мода при положительных значениях скорости и.

Для сжимаемых течений без ограничения на локальное число Маха укороченные уравнения Навье - Стокса имеют вид. (16.12) -(16.15). Давление может быть выражено через температуру и плотность из уравнения состояния

1 + уМоор = рГ. (16.39)

Для Uy V и Т вводится комплексное разложение Фурье, подобное (16.24). При подстановке его в основные уравнения вместо (16.34) получается следующий полином:

- Т ( Л +1) (РЛ + ) [Л - (<. + 1)] +

+ Р% () ( 1 + .)+ W ( W) Л Л=0. (.6.40,

При выводе уравнения (16.40) отдельные члены, содержащие 1/Re, были отброшены; зависимость вязкости ц от температуры также не учитывалась. Последний член в правой части

содержит производную duldy, связанную с диссипативным членом в уравнении (16.15).

Можно видеть, что при больших значениях Re поведение решения определяется произведением первых трех множителей в уравнении (16.40). Первые два множителя приводят к такому же поведению, что и второй множитель в (16.27), и не дают экспоненциального роста по X при положительной скорости и. Третий множитель, однако, такой же, как второй сомножитель в уравнении (16.36), и приводит к тем же результатам, т. е. для

Таблица 16.1. Доминирующее поведение решения укороченных уравнений

Навье - Стокса

дозвуковых течений образуются экспоненциально нарастающие в направлении х моды. Включение в рассмотрение других членов уравнения (16.40) не приводит к существенному изменению этих выводов.

Как и для трансзвуковых течений, описываемых уравнениями (16.30) - (16.32), если членом др/дх в уравнении (16.13) можно пренебречь, цель получить устойчивое решение за один маршевый проход будет достигнута. Очевидно, что произвольное отбрасывание члена др/дх приведет к нефизическим решениям полученной системы уравнений.

Результаты анализа различных категорий укороченных уравнений Навье -Стокса суммированы в табл. 16.1. Основной вывод заключается в следующем: пренебрежение диссипацией в направлении потока эффективно подавляет экспоненциальное нарастание решений в направлении течения, связанное с взаимодействием процессов конвекции и диффузии. Однако при этом не удается преодолеть существенно эллиптическое поведение решения, связанное с давлением для дозвуковых течений.

Если существует дополнительный механизм для нейтрализации члена др/дх в уравнении х-компоненты импульса, решение за один маршевый проход в направлении течения может