Разделы сайта

Читаемое

Обновления Aug-2018

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 [ 101 ] 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

308 Гл. 16 Течения, описываемые RNS-уравнениями Навье-Стокса Через и и V уравнения могут быть записаны в форме

ci др . ( ри \ ди , ди (у - 1) dv 1 ди

(16.31)

др (v-I) ди . dv , (pv \ dv 1 дЪ

--+ J = -

(16.32)

В этих уравнениях пренебрегается зависимостью вязкости р от температуры, а безразмерная скорость звука определяется выражением

а2 = -! + . (16.33)

Если недифференцируемые члены, подобные а, ри, pv и т. д., в уравнениях (16.30) -(16.32) заморозить, а для р, и м v ввести разложение в комплексный ряд Фурье, подобное (16.24), можно получить следующий полином относительно Ох:

т 0 +1) - ( +I) # (+)]=

(16.34)

Л = а,+ уа,. (16.35)

Для внешних течений вдали от изолированного тела укороченные уравнения Навье -Стокса совпадают с уравнениями Эйлера, описывающими невязкие течения. В этой ситуации в уравнении (16.34) следует положить Re = оо. Уравнение при этом сводится к виду

(рт) + - K + D] = 0- (16.36)

Первый множитель имет корень ax/Oy = -v/u, а корни второго множителя равны

где локальное число Маха 1А= {и + vyf/a. Из (16.37) следует, что если течение локально дозвуковое, т. е. М < 1, образуются корни со знаком минус при мнимой части. Это приводит к экспоненциальному росту решения в маршевом (х) направлении, что согласуется с тем, что невязкие уравнения эллиптические при М < 1 и гиперболические при М > 1.



В более общем вязком случае следует использовать непосредственно уравнение (16.34). Поведение первого множителя эквивалентно поведению второго сомножителя в (16.27). Та есть, он не дает экспоненциально нарастающих мод при положительной скорости и. Второй множитель -квадратичный по-Ох и позволяет получить следующие значения корней:

Gx UV iyUGy

±11г=гИ-1)-(7ет)-] (16.38)

При больших значениях Re значение [ ] определяется членом (М- 1), который приводит к сильному экспоненциальному росту при дозвуковом течении.

Для течений с и <С а второй член в правой части (16.38) приводит к слабому эллиптическому поведению, как и любой член в [ ] при любой скорости. Таким образом, вязкие члены приводят к слабому экспоненциальному росту в направлении х, скорость которого уменьшается с увеличением Re. Данный результат, однако, может быть иным для эквивалентной турбулентной формы RNS-уравнений.

Легко видеть, что и в невязком, и вязком случаях дозвуковой поток приводит к сильному экспоненциальному росту в направлении X. Однако если можно было бы подавить член др/дх в уравнении (16.13), в невязком случае не образовывалась бы экспоненциально нарастающая по х мода при положительных значениях скорости и.

Для сжимаемых течений без ограничения на локальное число Маха укороченные уравнения Навье - Стокса имеют вид. (16.12) -(16.15). Давление может быть выражено через температуру и плотность из уравнения состояния

1 + уМоор = рГ. (16.39)

Для Uy V и Т вводится комплексное разложение Фурье, подобное (16.24). При подстановке его в основные уравнения вместо (16.34) получается следующий полином:

- Т ( Л +1) (РЛ + ) [Л - (<. + 1)] +

+ Р% () ( 1 + .)+ W ( W) Л Л=0. (.6.40,

При выводе уравнения (16.40) отдельные члены, содержащие 1/Re, были отброшены; зависимость вязкости ц от температуры также не учитывалась. Последний член в правой части



содержит производную duldy, связанную с диссипативным членом в уравнении (16.15).

Можно видеть, что при больших значениях Re поведение решения определяется произведением первых трех множителей в уравнении (16.40). Первые два множителя приводят к такому же поведению, что и второй множитель в (16.27), и не дают экспоненциального роста по X при положительной скорости и. Третий множитель, однако, такой же, как второй сомножитель в уравнении (16.36), и приводит к тем же результатам, т. е. для

Таблица 16.1. Доминирующее поведение решения укороченных уравнений

Навье - Стокса

Несжимаемые течения, М-0

Дозвуковые течения, 0<м<1

Сверхзвуковые течения, м>1

Эллиптическое поведение, обусловленное взаимодействием давления с уравнением неразрывности

Сильное эллиптическое поведение, обусловленное давлением

Слабое эллиптическое поведение, связанное с взаимодействием давления с вязкими членами

Гиперболическое поведение, обусловленное невязкими членами

Слабое эллиптическое поведение, связанное с взаимодействием давления с вязкими членами

дозвуковых течений образуются экспоненциально нарастающие в направлении х моды. Включение в рассмотрение других членов уравнения (16.40) не приводит к существенному изменению этих выводов.

Как и для трансзвуковых течений, описываемых уравнениями (16.30) - (16.32), если членом др/дх в уравнении (16.13) можно пренебречь, цель получить устойчивое решение за один маршевый проход будет достигнута. Очевидно, что произвольное отбрасывание члена др/дх приведет к нефизическим решениям полученной системы уравнений.

Результаты анализа различных категорий укороченных уравнений Навье -Стокса суммированы в табл. 16.1. Основной вывод заключается в следующем: пренебрежение диссипацией в направлении потока эффективно подавляет экспоненциальное нарастание решений в направлении течения, связанное с взаимодействием процессов конвекции и диффузии. Однако при этом не удается преодолеть существенно эллиптическое поведение решения, связанное с давлением для дозвуковых течений.

Если существует дополнительный механизм для нейтрализации члена др/дх в уравнении х-компоненты импульса, решение за один маршевый проход в направлении течения может



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 [ 101 ] 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2018 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка
Besucherzahler
счетчик посещений