ди ди ,dpcil 1

дх дг dx Re L дг

В уравнении для радиальной составляющей импульса (16.53) остается лишь член др/дг, поскольку др/дг = 0. Таким образом, получаются три уравнения для четырех зависимых переменных. Однако можно получить дополнительное условие, если заметить, что для стационарного течения полный поток массы т постоянен. Поток массы определяется выражением

т = 2яр J иг dr. (16.56)

Таким образом, дт/дх = 0, т. е.

f.-2,pfr2. = . (,в.57)

Последнее выражение проще использовать в уравнениях (16.51), (16.53) и (16.55). Можно заметить, что уравнение (16.57) получается также в результате интегрирования уравнения (16.51) по поперечному сечению трубы.

Значения и р из уравнений (16.55) и (16.57) можно получить следующим образом. Уравнение (16.55) в разностном виде по X записывается в виде

uAu+/Ax = J{u+i\ v+l\ г)~Ар +у> (16.58)

/ - L ГЦ I ди\ ди

~ Re \дг г дг ) дг

/и+1=и+\ и , г +/2 =0.5(м -f w +i), (16.59)

осесимметричного течения давление можно расщепить:

P = PciiM + p4x, г), (16.54)

где рс - давление вдоль центральной линии, а р -поправка, учитывающая радиальное изменение. Подстановка этого выражения в уравнения (16.52) и (16.53) показывает, что др/дх порядка 0((6/L)2), в то время как основные члены (16.52) порядка 0(1). Здесь б -толщина вязкого слоя (=0.5D вниз по потоку от точки слияния вязких слоев, рис. 16.2), D - локальный диаметр трубы, L - характерная длина вдоль оси трубы. Следовательно, членом др/дх можно пренебречь и уравнение (16.52) принимает вид

Индексы пи/ определяют точки сетки в направлении х и г соответственно. При аппроксимации производных по г в уравнении (16.59) трехточечными центральными разностями в результате линеаризации (16.58) в окрестности точки как это сделано в п. 10.1.3, можно получить

(ы - 0.5 x -g-) A 7+ = AxJ {и-, vf4\ r) - Ap +. (16.60)

где Jd - разностное представление /. Уравнение (16.60) трех-диагональное и может быть легко факторизовано на верхнюю U и нижнюю L треугольные формы (например, при помощи алгоритма BANFAC, п. 6.2.3). Уравнение (16.60) можно тогда записать в виде

= Ах V-L-ja - V-L- Aplti. (16.61)

Из дискретного (например, по формуле трапеций) представления уравнения (16.57) можно получить явное выражение для

Ap+ = Ajc J rXi-L-j dr /JrU L~dr. (16.62)

d Id

Таким образом, уравнения (16.60) и (16.62) образуют модифицированную трехдиагональную систему, из которой для каждой точки а: + расположенной вниз по потоку, можно определить значения г+ и

Расщепление давления по формуле (16.54) и введение ограничения на поток массы (16.57) позволяют получить четыре уравнения для четырех неизвестных. Из описанного в п. 16.1.2 анализа Фурье этой системы следует, что решение и состоит из двух компонент: одной осциллирующей и одной экспоненциально убывающей по х. Следовательно, поскольку система неэллиптическая, устойчивое решение может быть получено маршевым методом по X. Основной момент, позволивший получить неэллиптическую систему, состоит в отбрасывании члена дрдх в уравнении х-компоненты импульса, в результате чего было получено уравнение (16.55).

Если это приближение допустимо, решение для внутренних течений, описываемых укороченными уравнениями Навье - Стокса, может быть получено за один проход. Такой подход справедлив для закрученных течений, рассматриваемых в п. 16.2.1, и для течений в прямом канале (п. 16.2.2). Однако для течений в сильно искривленном канале поперечные градиенты давления существенны и для построения неэллиптической системы требуются другие методы. Этот вопрос будет рассмотрев в п. 16.2.3.

dw . dw . vw

£( iuXL. (16.64) = (16.65)

При выводе уравнений импульса (16.64) - (16.66) отброшены члены второго по 6/L порядка, соответствующие диффузии в направлении потока. В уравнениях (16.64) и (16.66) отброшены также некоторые достаточно малые турбулентные члены. При выводе уравнения (16.65) для радиальной составляющей импульса отброшены конвективные и диссипативные члены второго порядка. Можно заметить, что в уравнениях (16.64) и (16.65) введено расщепление давления (16.54).

Турбулентные члены в уравнениях (16.64) и (16.66) можно связать с осредненными характеристиками течения при помощи соотношения

du dr

= 4 + т)- (16.67)

Здесь Va: и V0 - турбулентные вязкости, которые также можно связать с осредненными параметрами течения. Конкретные алгебраические соотношения приведены в работе [Armfield, Fletcher, 1986].

16.2.1. Закрученное внутреннее течение

Данная задача связана с экспериментальным фактом [Senoo et al., 1978], заключающимся в том, что если потоку, втекающему в конический диффузор, придать небольшое вращение Шо(г), то для углов раствора конуса, при которых имеет место отрыв незавихренного потока 15°), отрыв завихренного потока не происходит. В результате при тех же затратах энергии, необходимых на возмещение вязких потерь, можно получить большее восстановление давления в диффузоре.

Данная задача описывается несжимаемыми турбулентными уравнениями Навье - Стокса [Armfield, Fletcher, 1986]. В укороченной форме они имеют вид

t + f + 7-О. Сб-вЗ)

ди ди дрц 1 /дЪ 1 ди\