В результате можно построить следующий двухшаговый алгоритм:

{и - 0.5 AxAd) Ав* = Ax{Ad + Al) б + Ajc SjJ, (16.88) {и - 0.5Л;сЛ) AO = де*. (16.89)

Уравнения (16.88) и (16.89) имеют ту же трехдиагональную структуру, что и уравнения (9.88) и (9.89), и могут быть решены теми же методами, т. е. при помощи подпрограмм BANFAC и BANSOL (п. 6.2.3).

Порядок аппроксимации уравнений (16.88), (16.89) равен 0(Аа:, Ау2, Аг). Значения и w+ получаются весьма

экономичным образом. Первая компонента и+ получается из Ai/+ совместно с поправкой давления на центральной линии APc/t следующим образом. Ограничение на безразмерный поток массы, аналогичное (16.57), можно записать в виде

Am+i = J \Audydz=0, (16.90)

d d

где Aui получается из решения уравнений (16.88) и (16.89). Однако для произвольного р+ и, следовательно, произвольного Sp{\) уравнение (16.90) не будет выполняться. Если Sp{\) записать в виде

5, (1) = - f + О (Ах2) (16.91)

и представить A/n+ как !{Рф)у то можно построить итерационный алгоритм, в результате работы которого получится такое значениерУ, что условие (16.90) будет выполнено. Например, дискретный аналог метода Ньютона позволяет получить

т рП + \, О

Poll Реп (р +,.т) ( +,.0)ПРо ) иЬ.У2>

Этот процесс обычно сходится за две-три итерации по т [Briley, 1974]. Для каждой итерации необходимо из уравнений (16.88) и (16.89) определить новые значения Аи +.

После того как будет достигнута сходимость решения уравнений (16.92), (16.88) и (16.89), будут определены значения Рф и ujf. Значения поперечных компонент скорости v w Wy найденные из (16.88) и (16.89), можно рассматривать лишь как предварительные, поскольку не выполнено еще уравнение неразрывности (16.80). Поэтому производится расщепление по-

перечных компонент:

= + +1 = Р (16.93)

где предварительные значения vp и wp получаются из решения уравнений (16.88) и (16.89). Поправки и рассчитываются так, чтобы выполнялось уравнение неразрывности (16.80).

Как и в п. 17.2.2, поправки предполагаются безвихревыми и можно ввести потенциал ф так, что

= 17- = If- (16.94)

Если соотношения (16.93) и (16.94) подставить в уравнение (16.80), то для ф получится уравнение Пуассона

которое записывается в дискретной форме

{Ly, + L) = - + + Lw ) = h. (16.96)

Поскольку правая часть известна из решения уравнений (16.88) и (16.89), уравнение (16.96) может быть решено методами, описанными в § 6.2 или 6.3. Могут быть легко построены быстро сходящиеся при соответствующем выборе ф - итерационные процедуры SOR или ADI (§ 6.3).

Если сетка однородная, можно использовать прямой метод решения уравнения Пуассона (п. 6.2.6). Если поперечное сечение канала вниз по потоку остается постоянным, левую часть (16.96) необходимо факторизовать лишь один раз при условии, что имеется достаточный объем памяти. Решение уравнения (16.96) в различных точках вниз по потоку требует матричного умножения с различными правыми частями, что может быть осуществлено весьма экономным образом.

При решении уравнения (16.96) на стенках канала используются однородные условия Неймана, т. е. дф/дп = 0. Однако в общем случае дф/ds =7 О на стенках канала. Следовательно, хотя = Q на стенке z = const и = О на стенке у = const, граничные условия прилипания не полностью выполняются. В работе [Briley, 1974] рекомендуется решать уравнения (16.88) и (16.89) с условиями прилипания для vp и w. Контроль ошибок при выполнении условия прилипания для

посредством разложения (16.93) позволяет, если это необходимо, уменьшать шаг Ах. Иначе говоря, можно обратить в нуль и при решении уравнения (16.96), или, как в п. 17.1.6,

(16.98)

fd -+ А

(16.102)

\.А с Ла

можно так подобрать граничное условие для vp и wp, что значения v и w обратятся в нуль.

При решении уравнения (16.95) должна выполняться интегральная теорема Грина [Gustafson, 1980], т. е.

\fdA-\ds = 0, (16.97)

где с - контур, ограничивающий площадку Л, 5 измеряется вдоль Су а п - внешняя нормаль к с. Таким образом, А - площадь поперечного сечения канала, с совпадает со стенками канала. Дискретное представление (16.96) не удовлетворяет точно условию (16.97). Следовательно, f в (16.96) следует заменить выражением

LA с

Невыполнение условия (16.97) обычно приводит к медленной расходимости итераций [Brilley, 1974].

Поперечная поправка давления в (16.84) находится путем решения уравнения Пуассона, полученного из уравнений (16.82) и (16.83). В разностной форме оно имеет вид

{Lyy + L..) {рГ = LyFa + L,Fa = fa, (16.99)

Fd= - u ---+Aaw .

Значения v + и в (16.100) находятся из (16.93), а оператор Л. определен после формулы (16.85). Следовательно, источник в уравнении (16.99) может быть выражен явно. Расчетной границей при решении (16.99) является ряд точек, лежащих за стенкой. На этой границе для р ставятся граничные условия Неймана

= Fl или = (16.101)

где Fd и Fl определяются выражениями (16.100).

Для выполнения теоремы Грина значение fa в (16.99) заменяется выражением