Разделы сайта

Читаемое

Обновления May-2018

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 [ 111 ] 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

где каждый член v состоит из двух компонент (и, ку). Потенциальная поправка скорости уф = {Уф, уиф} создается градиентом продольной составляющей скорости ди/дх. Ее введение, как и в (16.95), необходимо для выполнения уравнения неразрывности (16.80). Вихревая поправка = {у, Wy} создается направленной по потоку компонентой завихренности Q x, которая в декартовых координатах равна

дW dw,u дV dv.

Если невязкое решение потенциальное, то dW/dy - dV/dz = О, Неэллиптические уравнения могут быть получены в связи с тем, что потенциальная поправка скорости мала по сравнению с невязкой V и вихревой v. Это, как будет показано ниже, следует из сравнения порядков различных членов в уравнениях.

Ниже описывается подход для расчета несжимаемых вязких течений в ортогональных координатах; обобщение на сжимаемые вязкие течения в ортогональных координатах описано в работе [Briley, McDonald, 1984]. Ортогональные координаты обозначаются через (, л ?); и, у, Г(У- локальные составляющие скорости вдоль этих координат. Метрические параметры Ль Лг, Лз определяются соотношениями (12.20), т.е.

А? = 4 + У + 4 hl = xl + yl + zl, hl = xl + yl + zlMQ.m)

и вычисляются, как описано в § 12.2, один раз после построения сетки. Эквивалентная декартова система координат получается, если положить xi = у = zi = 1, а все остальные параметры приняты равными нулю. При этом h\=h2 = h=\.

Поперечное поле скоростей и связано с потенциалом ф и поперечной функцией тока г) соотношениями

\ дФ I дФ

1 (М)1 L.£iMI

Для сравнения порядков величин различных членов предполагается, что направленная по потоку координата I совпадает с линиями тока невязкого течения, поэтому V = W = 0. Подстановка выражений (16.107) в уравнении (16.103) дает

При сравнении порядков величин, как и в п. 16.1.1, предполагается, что вязкие эффекты ограничены слоем безразмерной толщины б, малой по сравнению с безразмерным продольным



размером порядка 0(1). Для обезразмеривания используется характерная длина L в осевом направлении. На входе в ка- ал (рис. 16.7) б -толщина пограничного слоя; в областях

Г Л ШуШф,Ю Gib)


Рис. 16.15. Детали поперечной геометрии.

ВЯЗКОГО и сформировавшегося течений величина б равна половине гидравлического диаметра D.

Метрические параметры Ль Лг, Лз в уравнениях (16.108) порядка 0(1). Вблизи стенки, соответствующей постоянному значению х\ (рис. 16.15),

vO[b\ о (I). (16.109)

Вблизи стенки, соответствующей постоянному значению ,

W ir to(6), о(). (16.110)

Из сопоставления оценок (16.109), (16.110) с выражениями (16.107) следует, что ф имеет порядок 0(6), а г) -порядок О (б). Тогда в соответствии с оценкой (16.109)

Уф, Уф О (б), хЮф-О (62), шф О (1).

В соответствии с (16.110)

тф,тО{Ь), иф0{6)у yO(l).

Поскольку сильные градиенты возникают у стенок, на которых t, или ц постоянны, то

Уф-О(б), и, Уф-0(1). (16.111)



Как и можно было ожидать из (16.107), вихревое поле скорости Уф не появляется в уравнении (16.114). Уравнение (16.114) эквивалентно уравнению (16.95), и для его решения пригоден тот же метод (описан после формулы (16.95)).

Предположение (16.111) о малости скалярного потенциала позволяет упростить уравнение (16.113). Конвективный оператор

Т7 ud.vd.wd i\a\\K\

остается без изменений. Однако вектор и, на который он действует, заменяется на вектор и, определяемый в виде

иЯ КЧф, W + w}, (16.116)

т. е. в соответствии с оценкой (16.111) можно отбросить поперечные потенциальные составляющие скорости.

Выражение для вязкой силы F можно записать в виде

F = v2u = VXS, (16.117)

где завихренность й = VX и. Анализ порядков величин позволяет отбросить ди/дх из F\ и производные по л: в поперечных составляющих вектора УХй. Таким образом, выражения для р2 и Ръ приводятся к виду

П\ПГ2 =---, nih2Fs = --, (16.118)

Следовательно, поперечная потенциальная поправка скорости Уф мала по сравнению с компонентой скорости и, направленной по потоку. В то же время поперечная вихревая скорость того же порядка, что и скорость в направлении потока.

Уравнения, эквивалентные (16.80) - (16.83), могут быть записаны в следующем виде:

V.u = 0, (16.112)

M(u. V)u + Vp-.iF = 0, (16.113)

где u = (и, V, w), М - вектор трех уравнений импульса, F - сила, обусловленная вязкими напряжениями.

После подстановки соотношений (16.104) и (16.107) в (16.112) получается уравнение Пуассона для ф. В декартовых координатах оно имеет вид

дФ , дЧ Г ди . дУ , dW-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 [ 111 ] 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2018 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка
Besucherzahler
счетчик посещений