условие dpfdn О справедливо для всего пограничного слоя (§ 11.4). Таким образом, условие др/ду внутри дозвукового подслоя (рис. 16.17) согласуется с теорией пограничного слоя. На практике условие др/ду = О используется для определения давления в дозвуковом подслое путем экстраполяции

М>1

Поток

Psup

Неэллиптические RNS-уравнения

PsI Ьр/Э1/ 0 м<1

V Эллиптические / RNS-уравнения

Рис. 16.17. Геометрия подслоя.

значений из прилежащего сверхзвукового слоя, т. е. Psi = sup (рис. 16.17).

Описанное выше приближение подслоя будет продемонстрировано на двумерном стационарном вязком (ламинарном) сверхзвуковом течении у твердой поверхности. Безразмерные уравнения, эквивалентные (11.6), могут быть записаны в виде

. № .

дх ду ~ дх ду

(16.131)

где компоненты вектора зависимых переменных q равны

q{p, pw, pt;, Еу. (16.132)

Здесь Е - полная энергия на единицу объема (11.118). Компоненты F и G определяются выражениями

F{p , pi/2-f р, puv, {Е + рУиУ, 0 = {рг, puv, ру2 + р, {E-Jrp)vy,

(16.133)

Компоненты R и S связаны с вязкими напряжениями (п. 11.6.3).

Для удобства рассмотрения искривленных поверхностей вводятся обобщенные криволинейные координаты (гл. 12). Поскольку в настоящем примере рассматриваются течения у тонких тел, предполагается, что 1 = 1(х) и г\ = г]{Хуу), Физическая ориентация g и т) показана на рис. 16.18.

Уравнения (16.11) принимают вид

. 6 dS

dl ~ дц dl дц

(16.134)

.где q=q , а якобиан J = 1хЦу. Простой вид якобиана связан с предположением 1 = 1{х)у вследствие чего в уравнении (12.49)

Векторы F и G определяются выражениями

{р puU + IxP. 9vU, (Е + р) Uf J ~ J

е Л;,р + ло (Р 9иУ + цР. руУ + ЦуР, (Ep)VY (16.135) г - 7 - 7 .

Здесь введены контрвариантные компоненты скорости

U = l.u, V = ,u + %v. (16.136)

Введение обобщенных координат позволяет получить лучшее шо сравнению с декартовыми координатами совпадение коорди-

Рис. 16.18. Обобщенные координаты g = (л:), т] = т](д;, г/).

натных линий (линий постоянного значения х\) с направлением течения. Следовательно, основное предположение при выводе укороченных уравнений Навье -Стокса о малости диссипации в направлении потока по сравнению с поперечной диссипацией эквивалентно отбрасыванию члена 5R/(3 в уравнении (16.134) и производных по I в S. Данное приближение совпадает с приближением тонкого слоя (п. 18.1.3 и 18.4.1). Компоненты вектора S равны

(Л + л) [O.Sfx + v\ + {а\ k/{y - 1 )/Рг] +

+ (ф) (Ци + y]yV) [Л;с + Лг/Til

(16.137)

где Ur) = ди/дц и т. д. Данная структура S связана отчасти с отбрасыванием производных по , отчасти с упрощенным видом обобщенных координат (рис. 16.18) и выбранным способом обезразмеривания. Скорости обезразмерены по Uoo (скорость звука в набегающем потоке), плотность - по роо, полная энергия Е - - по pcfi. Таким образом, число Рейнольдса Re = pooaooL/p,oo, где L - характерная длина.

После введения основного предположения укороченных уравнений Навье - Стокса уравнение (16.134) удобнее записать в виде

= (16.138)

dl дц дц

Чтобы учесть описанное выше приближение подслоя, следует заменить F в (16.135) в подслое выражением

Fsi = F3, = {pt, pu + psu 9uv. u{E + psi)y, (16.139)

где psi -давление в подслое. Если и > а(1 Ss), значение psi выражается через полную энергию на единицу объема по формуле

рз1 = (Y - 1) [£ - 0.5р (и + v% (16.140)

Малый параметр вводится для того, чтобы избежать случай и = а. Если < а(1 -f 8s), то принимается psi = Psup, т. е. давление экстраполируется вдоль линии постоянного значения I из прилежащей сверхзвуковой области.

Чтобы получить решение за один маршевый проход в направлении течения g, на поверхности = о необходимо определить начальные значения зависимых переменных. На поверхности тела u = v = 0 давление получается из условия др/дц = = О, значения Т или дТ/дц задаются. Следовательно, р можно определить из уравнения состояния. На удаленной границе Л = Птах значения зависимых переменных равны параметрам набегающего потока.

Поскольку координата I играет роль времени, для дискретизации (16.138) удобно использовать полностью неявную трехслойную схему, описанную в п. 7.2.3. Тогда уравнение (16.138) заменится соотношением

a1 ()rhS +, (16.141)

AF + = F +-F и т. д., RHS = LS-LG,

- 2Дт,