ные граничные условия, необходимые для уравнений Эйлера, позволяют более эффективно связать невязкую и вязкую области.

Связь Джонстона и Сокола [Johnston, Sockol, 1979] используется также в работе [Whitfield, Thomas, 1984].

В заключение можно отметить, что методы учета взаимодействия, описанные в п. 16.3.4-16.3.7, основаны на классической идее [Lighthill, 1958] о том, что вязкая область может влиять на невязкую в результате эффекта вытеснения. Однако обобщение этой идеи на описание течения у задней кромки, отрыва и взаимодействия ударной волны с пограничным слоем приводит к методам [Le Balleur, 1984], весьма сходным с описанным в этой же главе методом укороченных уравнений Навье - Стокса.

§ 16.4. Заключение

Использование укороченных уравнений Навье - Стокса для расчета стационарных течений с преобладающим направлением целесообразно, если решение может быть получено за один маршевый проход в направлении потока или, в худшем случае, за несколько маршевых итераций.

Основные упрощения делаются на основе анализа порядков величин различных членов в уравнениях, описывающих течение. Из этого анализа следует, что члены, представляющие продольную (вниз по потоку) вязкую диффузию или теплопроводность, могут быть опущены, поскольку они на порядок меньше членов, связанных с поперечной диффузией или теплопроводностью. В этом упрощении предполагается, что направление течения совпадает, по крайней мере приблизительно, с одним из координатных направлений. Для улучшения совпадения направлений может понадобиться введение обобщенных координат (гл. 12).

Анализ Фурье линеаризованных уравнений, описывающих движение (п. 16.1.2), позволяет определить тип уравнений и установить, возможно ли получить решение за один маршевый проход. За исключением невязкого сверхзвукового течения, исходные RNS-уравнения, т. е. уравнения, в которых отброшена продольная диффузия, все еще являются эллиптическими. Эллиптическое поведение определяется в первую очередь давлением. Поэтому дополнительные приближения, цель которых сделать RNS-уравнения неэллиптическими, часто связаны с градиентом давления в уравнении продольной компоненты импульса.

Для внутренних течений, в которых поперечная составляющая скорости существенно меньше продольной, целесообразно расщепить давление на давление на центральной линии pc/i и поперечную поправку р. Из сравнения порядков величин

следует, что член др/дх может быть опущен в уравнении продольной х-компоненты импульса. Таким образом, в уравнении продольной составляющей импульса остается только давление Рс/1, а в уравнениях поперечных составляющих импульса фигурирует только р. Именно это разделение давления в продольном и поперечных уравнениях импульса позволяет получить неэллиптическую систему уравнений. Такое расщепление давления эффективно при расчете осесимметричных слабо закрученных течений (п. 16.2.1) и течений в каналах (п. 16.2.2), если кривизна оси канала или трубы не слишком велика.

Для каналов с существенно искривленной осью поперечные градиенты давления становятся настолько велики, что расщепление давления, использованное в п. 16.2.1 и 16.2.2, перестает быть справедливым. Расщепление поперечных компонент скорости на вихревую составляющую, связанную с завихренностью в направлении потока, и безвихревую (или потенциальную), связанную с законом сохранения массы, позволяет получить неэллиптическую систему уравнений даже при полном учете давления. Однако следует подчеркнуть, что вязкое решение в методе расщепления скоростей (п. 16.2.4) строится как коррекция к предварительному невязкому решению. Для дозвуковых течений это предварительное невязкое решение является эллиптическим.

Для внешних сверхзвуковых вязких течений точное решение может быть получено за один маршевый проход, если размер шага в продольном направлении не слишком мал и дозвуковая область вблизи твердой поверхности сделана неэллиптической . Экстраполяция давления поперек дозвукового подслоя из сверхзвуковой области позволяет получить требуемую неэллиптичность (п. 16.3.1). Другой путь связан с введением взвешивания Виньерона для члена др/дх в уравнении продольной х-состав-ляющей импульса в точках сетки, лежащих в дозвуковом подслое.

Для внешних дозвуковых вязких течений внешний (т. е. вдали от изолированного тела) поток является эллиптическим. Это приводит к необходимости введения итерационных повторяющихся маршевых проходов в направлении течения для решения RNS-уравнений. Если уравнения лишь слабо эллиптичны, то, как отмечено в условии (16.176), для устойчивости отдельных маршевых проходов (п. 16.3.2) параметр эллиптичности должен удовлетворять условию пАх/утах > о}. Для получения сходимости за несколько маршевых проходов в случае несжимаемых течений (а= 1) член пАх/утах не должен быть много меньше единицы (п. 16.3.3). Весьма эффективным оказывается

§ 16.5. Задачи 385

применение многосеточных методов (п. 16.3.5) для ускорения итераций.

Рассмотрение большей части методов в этой главе было сделано применительно к ламинарным течениям. Однако, если турбулентность моделируется путем введения дополнительной турбулентной вязкости, все методы без нарушения неэллиптичности RNS-описаний могут быть обобщены на турбулентные течения. Хотя качественный анализ (п. 16.1.2) указывает на неприменимость RNS-уравнений для расчета возвратных течений, имеются эмпирические доказательства (п. 16.3.3) того, что RNS-уравнения адекватно описывают такие течения, если выбрать для их решения подходящий итерационный алгоритм. Однако, если область отрыва занимает существенную часть области расчета, может оказаться, что RNS-подход с повторяющимися маршевыми итерациями не будет иметь преимуществ перед обычными методами (§ 6.4) решения полных уравнений Навье - Стокса.

Поскольку для решения уравнений, описывающих невязкие внешние течения, имеются более экономичные (чем методы решения RNS-уравнений) методы, обычно имеет смысл разделить всю область на RNS-область вблизи тела и внешнюю невязкую. В RNS-подходах, описанных в п. 16.3.2, эти области не пересекаются. Однако в традиционном разделении на невязкое течение и течение в пограничном слое эти области пересекаются. Для расчета сильных вязко-невязких взаимодействий (п. 16.3.4), правильного учета небольших областей возвратного течения и быстрого изменения в продольном направлении вблизи острой задней кромки профиля поверхностного трения и давления традиционный подход может быть модифицирован. В результате получаются методы (п. 16.3.5-16.3.7), больше напоминающие RNS-подход, описанный в п. 16.3.2.

Все описанные в данной главе методы численно были реализованы на основе конечно-разностной дискретизации. Другие методы дискретизации, например метод конечных элементов [Baker, 1983],также используются при решении RNS-уравнений, но обычно для дискретизации переменной, играющей роль времени, используется конечно-разностное представление.

§ 16.5. Задачи Введение в RNS-уравнения (§ 16.1)

16.1. Осредненные по времени уравнения, описывающие несжимаемые турбулентные течения, имеют вид (11.92) -(11.94). Для вывода укороченных уравнений, эквивалентных уравнениям (16.4)-(16.6), проведите анализ порядков величин в стационарных осредненных по времени уравнениях, описывающих турбулентное течение у входа в двумерный канал, параллельный оси X. Предположите, что напряжения Рейнольдса порядка 0(8/1).