объемов (§ 5.2); эта связь будет использована в п. 17.2.3. В результате дискретизации уравнения (I7.I) на разнесенной сетке, изображенной на рис. 17.1, получается выражение

/+1/2, k ~ /-1/2. k

i. ft + l/2 ft-1/2

= 0,

(17.5)

Ах Ay

которое можно представить в виде

Uj+i/2, kAy+ Vj, k+\/2 Ax - Uj-ii2, kAy - vj, k-\i2 Ax = 0. (17.6)

Уравнение (17.6) является дискретным представлением уравнения (17.4), т. е. соотношения (17.5) и (17.6) сохраняют массу

Рис. 17.1. Разнесенная сетка.

на минимальном сеточном размере. Кроме того, из разложения (17.5) в ряд Тейлора в окрестности центра ячейки следует, что порядок аппроксимации (17.5) равен oIAx, Ау) несмотря на использование лишь четырех точек.

Дискретизация уравнений (17.2) проводится с помощью конечно-разностных выражений, центрированных относительно точки сетки (/+1/2, ). Это позволяет представить др/дх в виде выражения {pj+\,k - pi,k)/Ax, которое в точке (/-[-1/2, fe) имеет второй порядок точности. Аналогично (17.3) дискретизи-руется центральными разностями относительно точки (/, +1/2) и др/ду представляется в виде (р/, +1 - р/, k)/Ay.

Использование разнесенной сетки дает возможность связать значения и, v и р в соседних точках. Это также позволяет избежать появления осцилляции в решении, в частности для р, которые могут возникнуть, если центральные разности используются для аппроксимации всех производных на неразнесенной сетке. Осциллирующее решение появляется из-за двух несвязанных на различных точках сетки решений для давления, которое возможно, если центральные разности используются на неразнесенной сетке. Осцилляции, как правило, возрастают при увеличении числа Рейнольдса, поскольку диссипативные члены

посредством которых осуществляется связь значении и и v в соседних точках, в этом случае малы. Из уравнений (17.1) - (17.3) следует, что членов, приводящих к диссипации р, не имеется.

Дополнительное преимущество использования разнесенной сетки состоит в том, что уравнение Пуассона (17.13) для давления автоматически удовлетворяет дискретному представлению интегрального граничного условия (17.4). В этом случае не требуется, как в уравнении (16.98), проводить дополнительную коррекцию правой части уравнения Пуассона.

Применение разнесенных сеток имеет также некоторые недостатки. Компьютерные программы в этом случае труднее интерпретировать. При программировании необходимо связать полный набор независимых переменных с индексами массивов, в которых они хранятся. При использовании разнесенных сеток элементам массивов, в которых хранятся и, v и р с номером (/, fe), могут соответствовать значения a/+i/2, , Vj,k-{-\/2 и pj,k (рис. 17.1). В случае разнесенной сетки обычно труднее осуществить постановку граничных условий, поскольку по крайней мере одна из зависимых переменных и или v не будет определена на границе. Если используются обобщенные координаты (гл. 12) и сетка непрямоугольная, применение разнесенных сеток усложняется еще больше.

Разнесенная сетка, приведенная на рис. 17.1, используется в методе MAC (п. 17.1.2). При дискретизации уравнений (17.1) -(17.3) используются следующие конечно-разностные выражения:

. dt J/ + 1/2, k М

y + l/2. HX

+ 0(Л/),

Idx J

д (uv)

+ 0(Ax2),

- dy J/ + 1/2, fe

[()/-H/2, fe+l/2-()/+l/2. fe-1/2]

+ 0(Ar/2),

L dx J Г d4 П

/+1/2, fe

(17.7)

L . dp

1+112. k

( i+U2. /+1/2, k + / + 1/2. fe + l) j g д2)

В приведенных выражениях присутствуют не определенные на рис. 17.1 члены типа Uj+i, Их аппроксимация осуществляется следующим образом:

/+1, fe = 0.5 (гу+1/2, fe -f i +3/2, fe).

. dx J/ + I/2, fe

Аналогично (uv) j-\/2, k+\/2 аппроксимируется выражением

{uv)f + i/2, + = [{Uj + i/2, k + Uj + i/2, k+l)/2] [{Vj + i, k + \l2 + Vj, fe + l/2)/2].

17Л.2. Метод MAC

Одним из наиболее ранних и получивших широкое распространение методов решения уравнений (17.1) - (17.3) является предложенный в работе [Harlow, Welch, 1965] метод маркеров и ячеек (MAC). В этом методе используется разнесенная сетка (п. 17.1.1) и на каждом шаге по времени решается уравнение Пуассона для определения давления. Хотя в первом варианте метода MAC имеются определенные слабые стороны, использование разнесенной сетки и уравнения Пуассона сохранилось и в более поздних методах, основанных на методе MAC.

Первоначально метод предназначался для решения нестационарных задач со свободными границами. Для определения положения свободной поверхности как функции времени в течение вводятся маркеры (частицы без массы). Маркеры переносятся полем скоростей, но не играют никакой роли при определении скорости или давления. Здесь в дальнейшем они рассматриваться не будут. Возможность качественно правильного моделирования методом MAC сложных течений со свободной поверхностью иллюстрируется на рис. 17.2, где представлены результаты расчета падения капли в неподвижную жидкость.

В методе MAC используются дискретные формулы (17.7) и для решения уравнения (17.2) может быть получен следующий явный алгоритм:

п + \ рп At г rt+l п

/ + 1/2. k ~~ / + 1/2, k L/ + l. k Р}, k J

(17.8)

i+\l2,k

/ + 3/2. k ~ /+1/2. k

Re Ал:2

/-1/2. k

I { /+1/2. k-\ ~ /+l/2. k + /+1/2. fe+i} { /+1. k ~ /, k)

Re Ay

{( )/+l/2. fe + l/2--( )/ + l/2. fe-1/2}

(17.9)

Аналогично в дискретном виде представляется уравнение (17.3):

fe + I/2 = О/, ft + ./2 - Д7 [.Pi. k + l - Pi. k J . (17.10)