которых обычно предполагают логарифмический закон измерения тангенциальной составляющей скорости в направлении нормали, а также то, что выделение турбулентной кинетической энергии в области действия логарифмического закона равно ее диссипации. В наиболее простой форме это эквивалентно введению вблизи стенки длины перемешивания при определении дополнительной вязкости (п. 11.4.2). Использование специальных пристенных функций позволяет определить граничные условия для k и г на некотором удалении от твердой поверхности. Другой подход состоит в введении дополнительных членов [Pate! et al., 1985] в уравнения (11.95) и (11.96). На стенке тогда используются граничные условия k = О и дг/дп - 0.

Предложенная {k - е)-модель турбулентности пригодна для расчетов свободных сдвиговых и пограничных слоев и отрывных течений; однако расчет на основе этой модели незамкнутых отрывных течений в дальнем следе дает завышенную скорость выделения турбулентной энергии [Rodi, 1982]. Наиболее слабым местом {k - 8)-модели является предположение об изотропности вихревой вязкости (11.98). Этого можно избежать путем введения отдельного уравнения в частных производных для каждого рейнольдсова напряжения. Однако это увеличивает существенно вычислительную стоимость.

Весьма эффективной является также промежуточная модель, в которой считается, что каждое отдельно взятое рейнольдсово напряжение пропорционально переносу k (11.95). Это сводит дифференциальные уравнения для рейнольдсовых напряжений к простым алгебраическим соотношениям. Подробности такой алгебраической модели напряжений, а также описание иных моделей турбулентности можно найти в работе Роди [Rodi, 1980].

§ 11.6. Сжимаемые течения

При рассмотрении данного класса течений возникают дополнительные сложности, связанные с изменениями плотности и температуры. Данные течения можно разделить также на невязкие, течения в пограничных слоях и отрывные течения (табл. 11.4). Сжимаемые течения здесь рассматриваются применительно к типичным инженерным задачам, например течение около лопаток турбины. В сжимаемых течениях изменения плотности, как правило, связаны либо с высокой скоростью потока (большие числа Маха), либо с большими разницами температур. С вычислительной точки зрения наличие в потоке больших температурных изменений подразумевает включение в рассмотрение при отыскании решения уравнения энергии.

11,6.1, Невязкие сжимаемые течения

Невязкие сжимаемые течения (газовая динамика согласна табл. 11.4) описываются уравнением неразрывности (11.9),. уравнениями Эйлера (11.21) и уравнением энергии (11.35),. правую часть в котором следует положить равной нулю (р, = 0> к = Ь), Граничным условием на твердой поверхности будет обращение в нуль нормальной к ней компоненты вектора скорости. Для задачи обтекания тела в табл. 11.6 приведено число граничных условий, которые необходимо поставить на удаленной от тела поверхности. Для сверхзвуковых течений граничные условия должны быть определены для каждой характеристики, приходящей в расчетную область. Условия совместности (п. 2.5.1) задают форму граничных условий. Конкретный выбор приведен в § 14.2, где рассматриваются соответствующие вычислительные алгоритмы. С математической точки зрения корректная постановка граничных условий рассматривается в работе [Oliger, Sundstrom, 1978].

Для стационарного течения невязкой (я = 0), нетеплопроводной {k = 0) жидкости уравнение энергии может быть проинтегрировано вдоль линии тока, в результате чего получится

Н = (о.5(72 + е + + )= const, (11.100)

где q - модуль вектора скорости, е - удельная внутренняя энергия, ф - потенциал массовых сил, т. е. f = -Vif). Легко видеть, что уравнение (11.100) эквивалентно уравнению (11.48),. если к нему добавить внутреннюю энергию е.

По теореме Крокко [Liepmann, Roshko, 1957], если стационарный поток везде безвихревой (завихренность равна нулю) и изэнтропичен, величина Н имеет одно и то же значение на всех линиях тока. Для течений, в которых существует изэнтро-пическая связь между р и р, возможно иное представление (11.100), в котором отсутствует внутренняя энергия:

Я = 0.592 + J dp + Ф = const. (11.101)

Для изэнтропических безвихревых течений целесообразно определить потенциал скорости Ф (11.50):

дО> дФ дФ /111

==1Г = -Ж- (1 -102>

В результате этого для стационарных течений в отсутствие массовых сил из уравнений неразрывности (11.10) и Эйлера

(11.21) можно получить

где а = (др/др)- - скорость звука. Это - скорость, с которой в сжимаемой среде распространяются акустические волны (волны сжатия малой амплитуды). Для идеального газа, например воздуха, а=(ур/р)-. Для несжимаемой жидкости а = оо и уравнение (11.103) сводится к уравнению Лапласа (11.51).

Из уравнения (11.101) можно получить связь между а и q. В случае идеального газа, для которого влиянием массовых сил можно пренебречь, (11.101) приводит к равенству

a2 + o.5(Y-l)9 = < + 0.5(Y-l)9L (-Ю)

где 7 - отношение удельных теплоемкостей, а индекс оо относится к некоторому известному состоянию. Система уравнений

(11.102) - (11.104) описывает рассматриваемый класс течений. После подстановки (11.102) и (11.104) в (11.103) ее можно свести к одному дифференциальному уравнению, которое оказывается, однако, существенно нелинейным.

На твердой поверхности граничное условие непротекания имеет вид: дф/дп = 0. Для трансзвуковых течений уравнение

(11.103) вдали от обтекаемого тела эллиптическое. Следовательно, на удаленных границах для него следует поставить граничное условие Дирихле.

Если ударные волны в потоке отсутствуют или слабы, что имеет место, например, в трансзвуковых течениях, физически точные численные решения на основе уравнений (11.102) -

(11.104) можно получить гораздо более экономно, чем из решения уравнений неразрывности, Эйлера и невязкого уравнения энергии в терминах исходных переменных (и, v, w, р, р, Т). Соответствующие численные методы решения (11.102) -(11.104) рассматриваются в § 14.3. Уравнения (11.102) - (11.104) применяются главным образом для расчета течений около хорошо обтекаемых тел, таких, как крылья самолетов или лопатки турбин под малыми углами атаки, для которых поток является безотрывным.

Для тонких тел, помещенных в однородный поток, движущийся со скоростью Voo в направлении оси х (рис. 11.13), весьма полезно ввести в рассмотрение малые возмущения и\

и скорости набегающего потока f/c , которые вносит по-