Разделы сайта

Читаемое

Обновления Feb-2018

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 [ 131 ] 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

17.1.3. Постановка граничных условий

Сетка строится таким образом, что граница проходит через точки, в которых определяется скорость, а не давление. Например, на рис. 17.3 изображена часть расчетной области, для которой граница ВС -твердая стенка, а ЛВ -входная граница.

Ро,2

Ро,1

2,5/2

3/2,2 Р2,2

5/2,2

S/2,1

Рис. 17.3. Типичное положение границы при использовании разнесенной сетки.

Очевидно, что Ui, 1/2 = v%\n- ... = О, поскольку ВС - твердая стенка. Для вычисления выражения (17.9) в узле (3/2,1) необходимо значение 3/2, о- Оно может быть получено через значение на стенке:

i/3/2. 1/2 = 0 = 0.5 (i/3/2, 1 + ищ1, о) или 3/2. О = - 3/2. 1.

На границе АВ значения и и v задаются. Компонента и используется непосредственно, а величина ui/2, -для определения Уо, fe. Так, при вычислении (17.11) в узле (1,3/2) значение Uo, 3/2 определяется по формуле

tO, 3/2 = 21/2, 3/2 - U\, ъ12

Если АВ - выходная граница, на которой и больше нуля, обычно используются следующие граничные условия:

ди дх

= 0,

ду дх

= 0.

(17.17)



- Pi, 2+ 2. 2 , Pi, 1 - 21, 2 + Pl,3

Ajc2 + Ay

(Pl,2-P0.2)

3/2, 2 Ш, 2 ,5/2 ~ 3/2

Ajc Ay

(17.18)

При вычислении (17.9) на АВ в узле (1/2,2) из (17.17) следует, что Us/2,2 = u-i/2,2 Аналогично при вычислении (17.11) в узле (0,3/2) из (17.17) следует, что и 3/2 = Уо, з/2.

При решении уравнения Пуассона для давления (17.13) требуются его значения за пределами области расчета. При записи (17.13) относительно узла (2,1) требуются значения р2, о и t2,-i/2. Значение р2, о получается из уравнения (17.3), записанного на стенке, т. е. др/ду = (dv/dy) /Re, поскольку v на стенке не зависит от времени. В дискретной форме это выражение имеет вид

Р2, \~ Р2,0 2, 3/2 ~ 2. 1/2 + 2. -1/2

Ау Re

Для выполнения уравнения (17.1) на стенке должно иметь место равенство: dv/dy = 0. Тогда

22. 3/2

2,-1/2 2, 3/2 Р2,0~Р2,\ Re At/ *

В работах [Harlow, Welch, 1965; Viecelli, 1971] рассмотрена постановка граничных условий на свободной поверхности.

17 J А. Развитие метода MAC

В методе MAC при определении давления обеспечивается выполнение уравнения неразрывности. В упрощенном методе маркеров и ячеек (SMAC), разработанном в работе [Amsden, Harlow, 1970], для более непосредственного выполнения уравнения неразрывности вводится второе уравнение Пуассона относительно вспомогательного потенциала скорости. Аналогичный подход рассматривается в п. 17.2.2.

В первоначальном методе MAC при постановке на границе области условия Неймана для р необходимо определить давление за пределами области расчета, используя уравнения (17.2) или (17.3). В работе [Easton, 1972] показано, что вместо этого можно использовать однородные граничные условия Неймана, что является более экономным и легче реализуется.

В используемых обозначениях однородные граничные условия Неймана для р будут определены в узле (1,2) вблизи границы АВ на рис. 17.3. Дискретизированное центральными разностями относительно узла (1,2) уравнение Пуассона может быть представлено в виде



Граничное условие Неймана для давления с центром в узле (1/2,2) может быть получено из (17.8) в виде

(Pl.2~P0, 2) -1/2. 2- 1/2.2 /.7 .Q4

~ и.Ау;

Если использовать уравнение (17.19) для исключения (pi,2 - - Ро, 2) из (17.18), получится выражение, не зависящее от ?/2.2 следовательно, не зависящее от значений и и v вне области, появляющихся в уравнении (17.9). Поскольку решение не зависит от /?/2,2, в уравнении (17.18) может быть сделана

подстановка/7/2,2 = ?/2.2 и, согласно (17.9), po,2 = Pi,2. Таким образом, вводится однородное граничное условие Неймана для давления. Член uj2 известен из граничных условий. Описанный метод в основном совпадает с методом, описанным в книге [Peyret, Taylor, 1983], где отмечены также важные аналогии между методом MAC и методом проекции (17.22) - (17.24).

Для многих зависящих от времени задач ограничение на шаг по времени (17.15), связанное с использованием явных формул (17.8) и (17.10), является слишком обременительным. Обобщение метода MAC, позволяющее проводить интегрирование по времени уравнений (17.2) и (17.3) с использованием неявной приближенной факторизации членов, содержащих скорость, сделано в работе [Deville, 1974] для очень малых чисел Рейнольдса и в работе [Ghia et al., 1979] для течений с большими числами Рейнольдса. Общее описание можно найти в книге [Peyret, Taylor, 1983].

Дискретные уравнения для определения поля скоростей (17.8), (17.10) могут быть записаны в символическом векторном виде

и - (17.20)

где F = {Fy G), Vd - разностный оператор градиента.

Уравнение Пуассона для давления (17.13) может быть записано в форме

V> =V,-F . (17.21)

Уравнения (17.20) и (17.21) являются краткой формой записи метода MAC.

Существуют иные методы, подобные методу MAC. С методом MAC тесно связан метод проекции, предложенный в работах [Chorin, 1968; Temam, 1969]. В принятых обозначениях в методе проекции уравнение (17.20) разделяется на два этапа:

u* = F (17.22)

u + i=u*-A/VdP + (17.23)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 [ 131 ] 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2018 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка