17.1.3. Постановка граничных условий

Сетка строится таким образом, что граница проходит через точки, в которых определяется скорость, а не давление. Например, на рис. 17.3 изображена часть расчетной области, для которой граница ВС -твердая стенка, а ЛВ -входная граница.

Ро,2

Ро,1

2,5/2

3/2,2 Р2,2

5/2,2

S/2,1

Рис. 17.3. Типичное положение границы при использовании разнесенной сетки.

Очевидно, что Ui, 1/2 = v%\n- ... = О, поскольку ВС - твердая стенка. Для вычисления выражения (17.9) в узле (3/2,1) необходимо значение 3/2, о- Оно может быть получено через значение на стенке:

i/3/2. 1/2 = 0 = 0.5 (i/3/2, 1 + ищ1, о) или 3/2. О = - 3/2. 1.

На границе АВ значения и и v задаются. Компонента и используется непосредственно, а величина ui/2, -для определения Уо, fe. Так, при вычислении (17.11) в узле (1,3/2) значение Uo, 3/2 определяется по формуле

tO, 3/2 = 21/2, 3/2 - U\, ъ12

Если АВ - выходная граница, на которой и больше нуля, обычно используются следующие граничные условия:

ди дх

= 0,

ду дх

= 0.

(17.17)

- Pi, 2+ 2. 2 , Pi, 1 - 21, 2 + Pl,3

Ajc2 + Ay

(Pl,2-P0.2)

3/2, 2 Ш, 2 ,5/2 ~ 3/2

Ajc Ay

(17.18)

При вычислении (17.9) на АВ в узле (1/2,2) из (17.17) следует, что Us/2,2 = u-i/2,2 Аналогично при вычислении (17.11) в узле (0,3/2) из (17.17) следует, что и 3/2 = Уо, з/2.

При решении уравнения Пуассона для давления (17.13) требуются его значения за пределами области расчета. При записи (17.13) относительно узла (2,1) требуются значения р2, о и t2,-i/2. Значение р2, о получается из уравнения (17.3), записанного на стенке, т. е. др/ду = (dv/dy) /Re, поскольку v на стенке не зависит от времени. В дискретной форме это выражение имеет вид

Р2, \~ Р2,0 2, 3/2 ~ 2. 1/2 + 2. -1/2

Ау Re

Для выполнения уравнения (17.1) на стенке должно иметь место равенство: dv/dy = 0. Тогда

22. 3/2

2,-1/2 2, 3/2 Р2,0~Р2,\ Re At/ *

В работах [Harlow, Welch, 1965; Viecelli, 1971] рассмотрена постановка граничных условий на свободной поверхности.

17 J А. Развитие метода MAC

В методе MAC при определении давления обеспечивается выполнение уравнения неразрывности. В упрощенном методе маркеров и ячеек (SMAC), разработанном в работе [Amsden, Harlow, 1970], для более непосредственного выполнения уравнения неразрывности вводится второе уравнение Пуассона относительно вспомогательного потенциала скорости. Аналогичный подход рассматривается в п. 17.2.2.

В первоначальном методе MAC при постановке на границе области условия Неймана для р необходимо определить давление за пределами области расчета, используя уравнения (17.2) или (17.3). В работе [Easton, 1972] показано, что вместо этого можно использовать однородные граничные условия Неймана, что является более экономным и легче реализуется.

В используемых обозначениях однородные граничные условия Неймана для р будут определены в узле (1,2) вблизи границы АВ на рис. 17.3. Дискретизированное центральными разностями относительно узла (1,2) уравнение Пуассона может быть представлено в виде

Граничное условие Неймана для давления с центром в узле (1/2,2) может быть получено из (17.8) в виде

(Pl.2~P0, 2) -1/2. 2- 1/2.2 /.7 .Q4

~ и.Ау;

Если использовать уравнение (17.19) для исключения (pi,2 - - Ро, 2) из (17.18), получится выражение, не зависящее от ?/2.2 следовательно, не зависящее от значений и и v вне области, появляющихся в уравнении (17.9). Поскольку решение не зависит от /?/2,2, в уравнении (17.18) может быть сделана

подстановка/7/2,2 = ?/2.2 и, согласно (17.9), po,2 = Pi,2. Таким образом, вводится однородное граничное условие Неймана для давления. Член uj2 известен из граничных условий. Описанный метод в основном совпадает с методом, описанным в книге [Peyret, Taylor, 1983], где отмечены также важные аналогии между методом MAC и методом проекции (17.22) - (17.24).

Для многих зависящих от времени задач ограничение на шаг по времени (17.15), связанное с использованием явных формул (17.8) и (17.10), является слишком обременительным. Обобщение метода MAC, позволяющее проводить интегрирование по времени уравнений (17.2) и (17.3) с использованием неявной приближенной факторизации членов, содержащих скорость, сделано в работе [Deville, 1974] для очень малых чисел Рейнольдса и в работе [Ghia et al., 1979] для течений с большими числами Рейнольдса. Общее описание можно найти в книге [Peyret, Taylor, 1983].

Дискретные уравнения для определения поля скоростей (17.8), (17.10) могут быть записаны в символическом векторном виде

и - (17.20)

где F = {Fy G), Vd - разностный оператор градиента.

Уравнение Пуассона для давления (17.13) может быть записано в форме

V> =V,-F . (17.21)

Уравнения (17.20) и (17.21) являются краткой формой записи метода MAC.

Существуют иные методы, подобные методу MAC. С методом MAC тесно связан метод проекции, предложенный в работах [Chorin, 1968; Temam, 1969]. В принятых обозначениях в методе проекции уравнение (17.20) разделяется на два этапа:

u* = F (17.22)

u + i=u*-A/VdP + (17.23)