Разделы сайта

Читаемое

Обновления Aug-2018

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 [ 133 ] 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

разностей приводит к появлению в решении сильных нефизических осцилляции (п. 9.3.1). Делались попытки стабилизировать решение путем дискретизации конвективных членов двухточечными разностями против потока (п. 9.3.1) или суммами с весами центрально-разностных выражений и разностей против потока. Однако, как правило, при этом получается неточное решение, особенно если локальное направление вектора скорости совпадает с направлением сетки и велики локальные градиенты скорости. Более точное решение получается, если для аппроксимации конвективных членов использовать разности высокого порядка точности против потока, подобные четырехточечным формулам, рассмотренным в п. 9.3.2 и 9.4.3.

Дэвис и Мур [Davis, Moore, 1982] использовали исходные переменные для решения нестационарных уравнений Навье - Стокса методом, аналогичным методу MAC. Применялась разнесенная сетка; уравнение Пуассона для давления решалось на каждом временном шаге прямым методом (п. 6.2.6) [Swartz-trauber, 1974].

Отличительной чертой метода Дэвиса и Мура является использование многомерных разностей третьего порядка точности против потока для аппроксимации конвективных членов. Помимо высокой точности эти разности третьего порядка против потока позволяют избавиться от ограничений, связанных с сеточным числом Рейнольдса и возникающих при использовании центральных разностей (п. 9.3.1). Использовался явный маршевый алгоритм по времени для решения уравнений импульса. Эмпирическим путем найдено, что при больших числах Рейнольдса решение устойчиво при выполнении условия КФЛ. т. е.

iil.O и <1.0.

Ад: Ау

Многомерные разностные формулы третьего порядка точности против потока являются обобщением одномерной квадратичной интерполяции против потока Леонарда [Leonard, 1989]. Одномерная схема третьего порядка с разностями против потока может быть продемонстрирована на уравнении переноса (9.56), записанном в консервативном виде

дТ д(иТ)

где и известно и изменяется внутри области. Консервативное разностное представление уравнения (17.30) может быть запи-



сано в форме

Д/ Ах \ Ах

= 0.

(17.31)

Поле скоростей и определяется на однородной разнесенной сетке (как в схеме MAC, рис. 17.1). Однако Г/+1/2 и Г/ 1/2 связаны с полем Т соотношениями

Г/- 1/2 = 0.5 (Гу + Г/ 1) - I (Г; 2 - 2Г; 1 + Тj) , (17.32)

т1щ = 0.5 (Г/ + Г/+1) - I (Гу 1 - 2Г/ + Гу+i). (17.33)

Такая дискретизация д(иТ)/дх эквивалентна четырехточечной схеме против потока (9.71), (9.72); путем выбора параметра q можно увеличивать точность или изменять диссипативные и дисперсионные характеристики (п. 9.4.3).

Значение 9= 0.375 соответствует схеме QUICK [Leonard, 1979], эффективной при расчете стационарных и квазистационарных течений. Схема QUICK широко использовалась в алгоритмах типа SIMPLE (п. 17.2.3). Однако для нестационарных задач желательно выбирать q так, чтобы уменьшить не только пространственные, но и временные ошибки (как в п. 9.4.3).

Одномерная схема QUICKEST, предложенная Леонардом [Leonard, 1979], напоминает модифицированную схему Лакса - Вендроффа (табл. 9.3), если и в (17.30) постоянно (С = = uAt/Ax), т. е.

r-+i r- + 0.5C(ri-r?-i) +

= С - а) [(Ти - 2П + ти - {Ти - 2П-1 + Т])1

(17.34)

Дополнительный член в правой части уравнения (17.34) обеспечивает аппроксимацию порядка 0(At,Ax). В пределе при а->0 конвективные члены аппроксимируются с точностью О(Ах), а производные по времени - с точностью O(Afi).

Дэвис и Мур обобщили схему (17.34) на случай двух пространственных переменных и переменной скорости. Для решения двумерного уравнения переноса

дТ d(ut) , d(vT) (дТ дЧ\



ими предложен следующий явный алгоритм:

Тк = 7 /, ft - С,ч-1/2 0.5 (Г/, k + Tj+\, k) - 0.5C/+i/2(7/+i, k - Г/, k) -

/-1/2

0.5 (Г,- ft + Ti, k) - 0.5C/ ,/2 (Г/, ft - Г/- ft) -

- (--4 - . - 2Г; , ft + ft)] -

-Cft+

0.5 ft + Ti, ft+i) - 0.5Cft+,/2 (Г/. ft+, - Г/. ft) -

-(---Y,)(7/.ft-,-2r;.ft + r,-,ft+,)] +

+ Cft-

0.5 {Ti, ft-, + Г/, ft) - 0.5Cft 2 {Ti, ft - Ti, k-l) -

- ( б~ - Y.) *-2 - 2Г - f,)] + + Y.(7/ ft-2r,-ft + r/ ,) + + yy{Ti,k-i-2Tjk + Ti,k+i), где числа Куранта определяются выражениями

Д*+1/2

(17.36)

C/ + l/2 =-

Cft+1/2 =

А< ,-1/2

Aft-l/2

bft l/2 =

При выводе уравнения (17.36) в целях упрощения алгоритма были опущены некоторые смешанные пространственные производные порядка 0(А2). Формально это приводит к понижению порядка аппроксимации (17.36) до О {At). Именно поэтому, чтобы уменьшить ошибку, связанную с отбрасыванием членов порядка 0{Af), Дэвис и Мур [Davis, Moore, 1982] использовали малые шаги по времени.

Для расчета неустановившегося ламинарного течения за прямоугольным препятствием (рис. 17.5) Дэвис и Мур использовали на однородной сетке эквивалентный (17.36) алгоритм. Применялась явная маршевая дискретизация по времени урав-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 [ 133 ] 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2018 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка
Besucherzahler
счетчик посещений