Рис. 17.5. Сетка для течения у препятствия, 51 X 62.

ния, основанный на методе Шварцтраубера [Swartztrauber,. 1974]. Это значительно повысило вычислительную эффективность алгоритма и позволило значительно точнее, чем при использовании экономически разумного числа итераций SOR,. обеспечить выполнение на каждом шаге по времени уравнения неразрывности. Типичное решение, соответствующее промежуточной стадии формирования дорожки вихрей, представлено на рис. 17.6.

В работе [Takemoto et al., 1985 использовался алгоритм Дэвиса и Мура [Davis, Moore, 1982 для детального исследования структуры течения в движущейся полости при числе Рейнольдса Re =10. Позднее [Takemoto et al., 1986] в алгоритме были произведены существенные изменения. Во-первых уравнения были записаны в обобщенных криволинейных координатах (гл. 12). Во-вторых, интегрирование уравнений импульса проводилось методом дробных шагов, в котором конвективные члены аппроксимировались явным, а вязкие - неявным образом. Вместо разнесенной сетки использовалась сетка на которой давление и компоненты скорости определены в одних и тех же узлах. Модифицированный алгоритм использовался для расчета нестационарного течения у синусоидальной выпуклости в канале при Re= 10

нений импульса (17.2) и (17.3). В работе 1982 г. для решения уравнения Пуассона для определения давления Дэвис и Мур использовали метод SOR (п. 6.3.1).

Позднее [Davis et al., 1984J для решения уравнения (17.13) на каждом шаге по времени применялся прямой метод реше-

Интересно отметить, что, хотя течение и нестационарное, использовался алгоритм QUICK (фактически (17.32) и (17.33) при 9=0.375), а не QUICKEST, эквивалентный (17.34). Предполагается, что относительная простота и экономичность алгоритма QUICK оказывается предпочтительней. В работе [Таке-moto, Nakamura, 1986] применен тот же алгоритм для решения задачи о трехмерной движущейся полости. Ранее на основе

Рис. 17.6. Картина вихрей при Re = 1000; направление набегающего потока составляет IS с горизонтальной плоскостью ([Davis, Moor, 1982]; печатается с разрешения Cambridge University Press).

модифицированной разностной аппроксимации QUICK, включенной в алгоритм типа SIMPLE (п. 17.2.3), эта задача рассматривалась в работе [Freitas et al.. 19851.

17.1.6. Спектральные методы

Спектральный метод (§ 5.6) определяет значения неизвестных величин более точно, чем любой из локальных методов (например, конечно-разностные методы или метод конечных элементов [Fletchel*, 1984]). Для задач с достаточно гладким решением и мягкими (например, периодическими) граничными условиями спектральный метод очень эффективен с вычислительной точки зрения (§ 4.5). Однако для течений с более сложными граничными условиями высокая точность определения узловых неизвестных может быть и не достигнута. Более того, могут возникать некоторые трудности при определении устойчивого решения [Gottlieb, Orszag, 1977].

Важная роль граничных условий при построении спектральных методов привела к более широкому использованию псевдоспектральных подходов, основанных на полиномах Чебышёва

(п. 5.6.3). Поскольку в современных псевдоспектральных методах решение в узловых точках определяется непосредственным образом, выполнение граничных условий может быть также осу-ш.ествлено более явно.

Псевдоспектральный матричный подход Чебышёва (CPSM) кратко описан в п. 5.6.3. В основе метода лежит предположение о том, что поведение функции во всей области достаточно точно описывается рядом Чебышёва. Это позволяет получить явные дискретные формулы для производных высокого порядка, например (5.162) и (5.165). Здесь на основе работы [Ки et al., 1987а, b] будет описано применение метода CPSM для расчета нестационарных несжимаемых вязких течений.

Рассматриваются безразмерные уравнения (17.1) - (17.3). Одномерное приближенное решение Чебышёва, подобное (5.150), используется для определения следующего дискретного представления пространственных производных:

\диЛ

1ду\ г ди

т = 1 Ny+\

(17.37>

ЕЯ а: (2), \диЛ Яг/(2)

/ = 1 т=\

где компоненты G и т. д. соответствуют G и т. д. в (5.161). Для производных от V и р можно определить эквивалентные (17.37) выражения.

Производные по времени аппроксимируются конечно-разностными выражениями, и для определения решения в новый момент времени используется метод проекции (17.22) - (17.24). Первая компонента в (17.22) имеет вид

F = u} + M

.Re \дх

( ди , ди

\ ди ) дх

диу ду J

(17.38)

где для пространственных производных используются выражения типа (17.37). Аналогичная CPSM дискретизация используется для эквивалентных членов в уравнении (17.37) при определении

После определения и* из (17.22) значение находится

из уравнения (17.24). Граничные условия при этом используются следующим образом. При помощи представления (17.37) уравнение (17.24) может быть записано в следующей дискрет-