Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 [ 136 ] 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

Основной недостаток подхода CPSM при расчете стационарных или слабо меняющихся течений заключается в сильном ограничении на шаг по времени (17.45). Если бы использова-

i 1

1 1 Ч-

а а а /

а /

/ ▲

/ ▲

/ ▲

( а

1 1 \

- двумерный профиль А трехмерный профиль

ill!


-0.2

-0 4

-0.6

- двумерный профиль а трехмерный профиль

J I L

Рис. 17.7. Сравнение двумерного и трехмерного распределений скорости при Re = 1000. (а) Профили скорости на вертикальной центральной линии, х = = 0 5, Z == 0.5; (Ь) профили скорости на горизонтальной центральной линии, у = 0.5, Z = 0.5 ([Ки et al., 1987b]; печатается с разрешения Academic

Press).

лась неявная аппроксимация уравнения (17.22), то из-за нелинейности (17.22) при решении понадобилось бы производить факторизацию плотной матрицы на каждом шаге по времени. Для реальных двумерных и трехмерных задач это сделало бы алгоритм крайне неэффективным.



В работе [Gottlieb et al., 1984] проведен обзор методов, & которых используется интегрирование по времени для расчета вязких несжимаемых течений, и предложено расщепить решение уравнений, подобных (17.22), на два этапа. На первом этапе рассматриваются лишь конвективные члены, которые аппроксимируются явным образом. Второй этап включает в себя учет вязких членов, для которых возможна неявная аппроксимация. Поскольку такая система линейная, в CPSM-методе понадобится лишь одна факторизация на первом шаге по времени. Такое расщепление в псевдоспектральном методе использовалось в работе [Moin, Kim, 1980] и в смешанном спектрально- псевдоспектральном методе в работе [Orszag, Kells, 1980]. В последней работе для конвективных членов использовалась частично неявная аппроксимация, полученная в результате их приближенной линеаризации на каждом временном шаге. Однако в работах [Moin, Kim, 1980; Orszag, Kells, 1980] полиномы Чебышёва применялись лишь по одному направлению; периодические граничные условия позволили использовать ряды Фурье в двух других направлениях. Кроме того, в обеих работах применялся метод FFT, а не матричные операции, как в работах [Ки et al., 1987а,Ь].

Спектральные методы используются для исследования основных неустойчивостей, приводящих к переходу от ламинарного течения к турбулентному. В работе [Orszag, Kells, 1980] показано, что для плоских течений Пуазейля и Куэтта переход происходит при числах Рейнольдса порядка 1000. В работе [Orszag, Patera, 1983] показано, что для перехода в сдвиговых течениях необходимы трехмерные возмущения. При изучении переходов в сдвиговых течениях высокое временное разрешение важнее пространственного. Однако при прямом моделировании турбулентности [Orszag, Patera, 1981; Brachet et al., 1983] высокое пространственное и временное разрешения одинаково важны.

Наиболее широко спектральные методы применялись для решения задач, в которых границы расчетной области совпадали с линиями постоянного значения независимых переменных. Для расчета течений в областях более сложной формы можно преобразовать уравнения к связанным с границей обобщенным криволинейным координатам (гл. 12) и использовать какой-либо спектральный метод уже в однородной в обобщенных координатах области. Однако для сохранения высокой точности спектральных методов параметры преобразования 1х и т. д. должны также вычисляться спектральными методами [Orszag,. 1980]. Для конечно-разностных методов высокого порядка



точности для параметров преобразования достаточно использовать формулы второго порядка (§ 12.2).

Использование полиномов Чебышёва для определения точек коллокации (5.152) приводит к мелкой вблизи границ и сравнительно грубой во внутренней части области сетке. Это особенно удобно при рассмотрении вязких течений, поскольку появляется возможность хорошего разрешения тонких пограничных слоев, возникающих вблизи стенок при больших числах Рейнольдса. Для задач с большими градиентами внутри области (например, вязкие сжимаемые течения или задачи с движущимися фронтами) распределение точек, обусловленное полиномами Чебышёва, может оказаться менее эффективным.

Один из эффективных путей преодоления этой трудности, одновременно позволяющий рассматривать спектральными методами сложные геометрии, состоит в разделении всей области на несколько 0(10) подобластей. В каждой подобласти используется спектральный метод. Для течения за уступом [Patera, 1984] вся область (рис. 17.4) разделялась на семь подобластей. Для довольно точного решения в каждой подобласти достаточно использовать от шести до семи полиномов Чебышёва по каждому направлению.

Использование отдельных спектральных разложений в каждой подобласти приводит к новой задаче обеспечения непрерывности решения при переходе из одной подобласти в другую. Для несжимаемых уравнений Навье -Стокса (17.1) -(17.3) при переходе через границы подобластей должны быть непрерывны давление, компоненты скорости и первые производные от компонент скорости в направлении нормали к границе. Данные условия непосредственно используются в работе [Ки, Hatziavrami-dis, 1987] при рассмотрении течения у входа в трубу в переменных скорость -завихренность.

В работе [Patera, 1984] удалось избежать явного наложения условия непрерывности производных скорости. Патера применил спектральный элементный метод, в котором используется ла-гранжева интерполяция узловых неизвестных, основанная на чебышёвских полиномах и точках коллокации. Модифицированный метод проекции, эквивалентный (17.22) -(17.24), использовался для перехода с временного слоя п на д+ 1. Промежуточное поле скоростей получается из явной аппроксимации конвективных членов в уравнении импульса. Эти промежуточные значения скорости используются в качестве источника в уравнении Пуассона, эквивалентном (17.24). Полученные значения давления используются в уравнении, эквивалентному (17.23), для дальнейшего уточнения значений скорости. Таким образом, остается учесть влияние вязких членов на распределение



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 [ 136 ] 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка