скоростей. Это осуществляется при помощи соответствующей вариационной формулировки и схемы Кранка - Николсона (неявной). Использование вариационного подхода позволяет избежать применения специальных процедур, обеспечивающих непрерывность производных от скорости на внутренних границах. Другой способ получения непрерывных производных скоростей обеспечивается методом глобального баланса потока [Macaraeg, Streett, 1986].

Для простых геометрий, подобных обращенной назад ступеньке, спектральная формулировка в каждой подобласти может быть осуществлена в физических координатах. Однако в случае областей более сложной формы или если необходимо точно разрешить сильные внутренние градиенты, необходимо использовать подобласти неправильной формы. В работе [Korczak, Patera, 1986] приводится подобная модификация, основанная на однопараметрическом конструировании (п. 5.3.3). В работе [Macaraeg, Streett, 1986] при помощи перехода к обобщенным криволинейным кооординатам в каждой подобласти получен такой же окончательный результат.

В заключение можно отметить, что спектральные методы все еще менее развиты, чем конечно-разностные. Основное их преимущество состоит в том, что высокая пространственная точность может быть получена при сравнительно небольшом числе членов в приближенном решении или, что эквивалентно, при небольшом числе точек коллокации [Hussaini, Zang, 1987]. При рассмотрении зависящих от времени вязких течений, в которых для достижения необходимой точности требуются малые шаги по времени, спектральные методы уже конкурентноспособны с конечно-разностными методами, особенно в регулярных областях.

В случае нерегулярных областей и если зависимость от времени не является ограничивающим фактором для точности, в спектральных методах обычно используется интегрирование по времени или проводятся итерации до тех пор, пока не получится стационарное решение. В этом случае они оказываются значительно менее экономичным, чем локальные методы, такие, как конечно-разностные или метод конечных элементов. В настоящее время вычислительная эффективность спектральных методов расчета несжимаемых вязких течений в целом не столь высока, как конечно-разностных методов или метода конечных элементов в случае сложных геометрий расчетной области. Однако возможно, что эта ситуация изменится с появлением компьютеров с параллельными процессорами [Ortega, Voigt, 1985; Korczak, Patera, 1986; Macaraeg, Streett, 1986].

§ 17.2. Исходные переменные: стационарные течения

Любой из методов, описанных в § 17.1, применим для расчета стационарных течений путем интегрирования по времени до тех пор, пока решение не перестанет меняться. Кроме того, если нестационарное решение не представляет интереса, возможно применение методов установления (§ 6.4), которые могут повысить эффективность таких алгоритмов определения стационарных решений. Метод установления используется в методе искусственной сжимаемости (п. 17.2.1) и при практическом применении вспомогательной потенциальной функции (п. 17.2.2). Хотя метод SIMPLE (п. 17.2.3) первоначально предназначался для непосредственного решения стационарных уравнений Навье-Стокса, оказалось, что его реализация более эффективна в псевдонестационарной форме. Методы конечных элементов (п. 17.2.4) применимы для расчета стационарных и нестационарных течений. Однако для расчета стационарных течений эти методы обычно применяются непосредственно к стационарным уравнениям Навье - Стокса.

17,2.1. Искусственная сжимаемость

В этом методе решение стационарных уравнений Навье - Стокса ищется на основе метода установления (§ 6.4) применительно к нестационарным уравнениям импульса (17.2) и (17.3), а уравнение неразрывности (17.1) заменяется уравнением

t + 4lr + f)=0. (17.4S)

В пределе при i-oo уравнение (17.46) совпадает с (17.1). Физический смысл имеет стационарное решение уравнений (17.46), (17.2) и (17.3), а нестационарные решения физического смысла не имеют. Уравнение (17.46) напоминает сжимаемое уравнение неразрывности (11.10). С этим связано название метода, введенное Чорином [Chorin, 1967].

Параметр а можно интерпретировать как скорость звука и положить р = ар. Однако на практике р в явном виде не появляется и а и Ai играют роль релаксационных параметров. Ограничения на А обычно определяются устойчивостью вычислительного алгоритма. Однако, согласно уравнениям (17.52) - (17.54), имеются ограничения и на а.

Поскольку в методе установления осуществляется интегрирование по времени уравнений (17.46), (17.2) и (17.3), граничные условия для этой задачи такие же, как в § 17.1.

В Оригинальной формулировке Чорин [Chorin, 1967] использовал схему чехарда (п. 9.1.3) для производных по времени и разности Дюфорта - Франкела (п. 7.1.2) по пространству. Компоненты скорости и давления определялись в одних и тех же точках. В работе [Peyret, Taylor, 1983] рекомендуется использовать разнесенные сетки (п. 17.1.1). Кроме того, также показано, что если использовать явные разности, как в п. 17.1.2, псевдонестационарный метод искусственной сжимаемости можно рассматривать как итерационную процедуру решения разностного уравнения Пуассона для давления (17.13) при = оо.

Ниже будет описан неявный псевдонестационарный алгоритм решения уравнений (17.46), (17.2) и (17.3), основанный на процедуре приближенной факторизации (п. 8.2.2).

Уравнения (17.46), (17.2) и (17.3) могут быть записаны в векторном виде

dq .

dt дх

dF дО

(17.47)

Как в (14.98), В данном случае

вводятся якобианы А = dF/dq, В = dG/dq.

(17.48)

Однако в отличие от (14.97) имеются следующие связи: F = Aq--i/Dq и G = Bq -tDq.

При дискретизации уравнения (17.47) значения р, и и v определяются в одних и тех же точках сетки. Для аппроксимации производных по времени используется формула трапеций (схема Кранка - Николсона)

- iL.x +Lyy) {q- + q-) = 0, (17.49)

где Aq+ = q + - q и Lx, Lx и т. д. - трехточечные центрально-разностные операторы. Например, L q = (q j - 2q -f