Re 5д: Re ду

Таким образом,

/+i/2,ft -Re x

G\\.m = 0-25 {V, , + V , ,) ( , , -

Следовательно, (17.68) можно переписать в виде

+10 /.V + S . .v+ft +{рщ k - ptk)=0

(17.69)

где Yj nbnv означает все конвективные и диффузионные вклады из соседних узлов. Коэффициенты aj и а зависят от размеров сетки и значений и и v на п-м временном слое. Член = -Ах Ayuf, k/At, Можно заметить, что некоторые члены в f() и G() вычисляются на п-м временном слое, в результате чего система (17.69) линейна относительно и+\

При помощи контрольного объема, изображенного на рис. 17.9(c), дискретная форма уравнения у-компоненты импульса (17.3) может быть записана в виде

() (г; - -л+. - ш, .)у+

+ (G!Ui/2 - 1/2) + (Ci - P/.V) = 0> (17.70)

r-io\ 1 dv /ov о 1 dv

Re dx Re dy

вует однородной сетке. Более общий случай неоднородной сетки можно найти в § 5.2 или работе [Patankar, 1980].

Для контрольного объема, изображенного на рис. 17.9(a), применение метода конечных объемов (§ 5.2) к уравнению неразрывности (17.1) позволяет получить дискретное уравнение

- Wjll ,)Лу + - t, V ,) Ах = 0. (17.67)

Применяя метод контрольного объема к уравнению х-компо-ненты импульса (17.2) с контрольным объемом, показанным на рис. 17.9(b), можно получить дискретное уравнение

(4) ( п - /.+mu2.. - п +

+ {Gi%+U2 - 0\\\-u2) + (РЩ k - рП) = о (17.68)

Подстановка F< и G в (17.70) позволяет записать его в виде

+ О /.V + Z .nV + b + Ax (р-Vi - = 0

(17.71)

где различные коэффициенты имеют ту же интерпретацию, что и в уравнении (17.69).

На любой промежуточной стадии итерационная процедура SIMPLE осуществляет перевод решения с п-го временного слоя на (/г+1)-й. Значения скорости определяются в два этапа. Сперва решаются уравнения импульса (17.69) и (17.71), в результате чего определяется аппроксимация и* величины u+S которая не удовлетворяет уравнению неразрывности. Используя приближенное решение для скорости и*, определяют поправку к давлению 8р. При помощи этой поправки определяются новые значения давления р+ - р + 8р и поправка скорости и. С учетом этой поправки и + = и* -- и, где и удовлетворяет уравнению неразрывности в дискретной форме (17.67).

Для определения и* уравнения (17.69) и (17.71) аппроксимируются следующим образом:

( Д£М + а ) , + 2] 6 = -Ь - Ау (Р, ,+Pl(17.72) (- + О . + Е nь<ь = -Ь - Ах(р (17.73)

Патанкар [Patankar, 1980] рекомендует записывать уравнения (17.72) и (17.73) в виде скалярных трехдиагональных систем вдоль каждой х-линии сетки {k постоянно) и использовать для решения алгоритм Томаса (п. 6.2.2). Далее (17.72) и (17.73) записываются как скалярные трехдиагональные системы вдоль линий у (/ постоянно) и вновь решаются по алгоритму Томаса. Такая процедура похожа, но не идентична методу ADI, рассмотренному в п. 8.2.1.

Для определения поправки уравнение (17.72) вычитается из (17.69). В результате получается

( А£А£ + al J , = - а>, - Ay (бр, , - бр (17.74)

Вычитание (17.73) из (17.71) позволяет получить аналогичное уравнение для v. Однако, чтобы сделать связь между и бр как можно более явной, в алгоритме SIMPLE используется следующая аппроксимация (17.74):

Ь = /.Л* ..~6 +1..> (17.75)

d, = EAy/{{l+E)al,y EAtalJAxAy. (17.76)

Можно получить аналогичные выражения, связывающие v и (бр/, fe - 6/7 Подстановка u+i =u* + в (17.67) и

использование выражений (17.75) и т. д. позволяет построить следующий явный алгоритм для определения бр/fe:

a.feбp = EaP,бp , + 6 (17.77)

где 6 = - (и] - и] j) Ау - {v] - v] ,) Ах. Уравнение

(17.77) есть замаскированная дискретная форма уравнения Пуассона, которое в символическом виде можно записать как

что эквивалентно (17.59). Можно отметить, что (17.75) эквивалентно уравнению

u = -:V,6p. (17.79)

Из сравнения уравнений (17.79) и (17.62) следует, что 8р - эффективный потенциал скорости, а поправка безвихревая. Полностью алгоритм SIMPLE можно представить следующим образом:

1) U* находится из (17.72) и (17.73),

2) 8р находится из (17.77),

3) определяется из (17.75) и эквивалентной формы для

4) р -- определяется из соотношения р + = р -- абр, где оср - релаксационный параметр.

В алгоритме SIMPLE два релаксационных параметра: ар и £( = А). Решение стационарного уравнения для импульса соответствует значению £ = оо. В этом случае для устойчивости сходимости рекомендуется значение ар = 0.075. Эмпирически обнаружено, что более высокая скорость сходимости получается при £ = 1 и ар = 0.8 [Patankar, 1980].

В работе [Raithby, Schneider, 1979] проведено систематическое исследование алгоритмов типа SIMPLE и сделан вывод, что наиболее эффективному алгоритму соответствуют значения £* 4 и

а,= 1/(1+£) (17.80)

В работе [Van Doormaall, Raithby, 1984] выражение (17.80) названо согласованным SIMPLE-алгоритмом или сокращенно SIMPLEC. Однако здесь дана и другая интерпретация алго-