ритма SIMPLEC. Остается неясным вопрос, увеличивает ли число итераций необходимое для сходимости приближение, имеющееся при переходе от (17.74) к (17.75). Несомненно, что такое приближение повышает экономичность каждой отдельной итерации.

Более точное приближение уравнения (17.74) получается в результате вычитания nbk обеих частей уравнения и отбрасывания члена пь{пь~Щ,к) правой части. Вместо (17.75) тогда получится уравнение

d], k = Е а [(1 +E)alk-EY. а1ъ\.

Если поправка медленно меняется по пространству, отбрасывание члена Ya nb {пь / k) приводит к небольшой ошибке. Вместе с тем (17.81), будучи явным выражением, сохраняет экономичность алгоритма. При выводе уравнения Пуассона для бр в этом случае используется уравнение (17.81), а не (17.75); точно так же и при расчете Однако, если в алгоритме SIMPLE используется уравнение (17.81) при определении рп+1 на четвертом шаге алгоритма, нет необходимости вводить релаксационный параметр ас, т. е. ар= 1. Аналогичная модификация алгоритма SIMPLE рассмотрена в работе [Connell, Stow, 1986].

Применение алгоритма SIMPLE в оригинальной формулировке к широкому кругу задач позволило сделать вывод о том, что введение бр эффективно подстраивает поле скоростей, но не позволяет получить быструю сходимость для давления. Для исправления этого недостатка Патанкар [Patankar, 1980] предложил алгоритм SIMPLER, который осуществляется следующим образом:

1. Поле скоростей и определяется из решения уравнений (17.72) и (17.73), в которых члены с давлением исключены из правой части.

2. Уравнение (17.77) становится уравнением Пуассона для определения р +, а не бр после замены и* на и в членах Ь.

3. Значение р + (найденное на шаге 2) подставляется вместо в (17.72) и (17.73). Полученные уравнения решаются методом SIMPLE, в результате чего получаются значения и*.

4. Уравнение (17.77) решается для определения бр. В результате определяется u +=u* + u. Уточнение значения р полученного на шаге 2, не производится.

Очевидно, что в методе SIMPLER приходится дважды решать уравнение Пуассона и уравнение импульса на каждой итерации. Хотя число операций на каждой итерации больше, чем в методе SIMPLE, для сходимости достаточно нескольких итераций. Таким образом, алгоритм SIMPLER оказывается примерно на 50 % более эффективным. Можно отметить, что шаги 1 и 2 в SIMPLER соответствуют методу проекций (17.22) и (17.24).

В работе [Van Doormaall, Raithby, 1984] проведено сравнение применения методов SIMPLE, SIMPLEC и SIMPLER к рас-

300-

SlMPLE,ap=0.8 ,Ур=0.25

/

/, 977777777777

SIMPLER, Ур=0.25

0.5 1

SIMPLEC, Ур=0.25 J I I

SIMPLE, ар=0.8, Ур= 0.2

10 20

SIMPLEC, ур= 0.2

0.5 1

Рис. 17.10.

Е (а)

Сравнение методов

SIMPLE, SIMPLEC,

SIMPLER

10 20

([Doormaal,

Raithby, 1984]; печатается с разрешения Hemisphere Publishing Co.).

чету циркуляционного течения и течения за уступом. При решении уравнение (17.77) повторялось v раз до тех пор, пока не выполнялось условие Ikpll Vplkpll где гр-среднеквадратичный остаток уравнения (17.77), т. е.

l / к

Оптимальное значение Vp лежит в диапазоне от 0.05 до 0.25. Сравнение вычислительных затрат (время CPU в секундах), необходимое для достижения сходимости, приведено на рис. 17.10. Очевидно, что методы и SIMPLEC, и SIMPLER эффективнее SIMPLE. Несколько предпочтительней метод SIMPLEC. Однако оптимальный выбор £ и в меньшей степени зависит от задачи.

Алгоритмы типа SIMPLE на различных сетках применялись также в обобщенных координатах (связанных с телом) (гл. 12). В работе [Raithby et al., 1986] использовался алгоритм SIMPLEC в ортогональных обобщенных координатах. Оказа-

ЛОСЬ, что постановка задачи и дискретизация на уровне напряжений, как в (11.26), позволяют построить более эффективный алгоритм. Соотношения, соответствующие ламинарным или турбулентным напряжениям, вводились в соответствующие дискретные представления. Однако, если на этом этапе вводить разности против потока первого порядка, общая точность решения часто уменьшается. В разностные формулы более высокого порядка входит большее число точек сетки, и алгоритм становится менее эффективным.

В работе [Shyy et al., 1985] метод SIMPLE использовался на разнесенной сетке в неортогональных обобщенных координатах. Проведено сравнение использования разностной схемы QUICK (п. 17.1.5) и трехточечной схемы второго порядка с разностями против потока (=1.5 в (9.53)) для аппроксимации конвективных членов. В качестве тестовой рассматривалась задача о двумерном турбулентном течении в почкообразном канале на сетках 31 X 26 и 56X36. Хотя данная задача и не имеет точного решения, можно сделать вывод о том, что схема второго порядка с разностями против потока в целом более предпочтительна. Эта схема оказалась более работоспособной и не приводила к очевидной потере точности решения. Схема QUICK ( = 0.375 в (9.53)) расходилась на сильно деформированных сетках, а там, где она сходилась, требовалось большее число итераций.

Неработоспособность схемы QUICK отмечалась также в работах [Pollard, Siu, 1982; Patel, Markatos, 1986], где алгоритм SIMPLE использовался на декартовой сетке. Из соотношения (9.53) видно, что уменьшение q соответствует приближению к трехточечной центрально-разностной формуле ( = 0). Поэтому меньшая по сравнению с трехточечной с разностями против потока схемой (=1.5) работоспособность схемы QUICK {q = 0.375) неудивительна.

Филлипс и Шмидт [Phillips, Schmidt, 1985] использовали алгоритм SIMPLE в сочетании со схемой QUICK для аппроксимации конвективных членов на разнесенной сетке. Для ускорения сходимости к стационарному состоянию использовался многосеточный подход (п. 6.3.5). Филлипс и Шмидт рассматривали задачу о движущейся полости при Re = 400 и задачу о естественной конвекции в вертикальной полости [de Vahl Davis, Jones, 1983] при Re =10. Использовалась многосеточная процедура с различным измельчением сетки в различных подобластях. Обычно наиболее мелкие сетки (Л =1/32) вводились вблизи стенок, а менее мелкие (Л = 1/16) - во внутренних областях. Самая грубая сетка (Л =1/4) в многосеточной процедуре использовалась во всей области.