Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 [ 142 ] 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

17,2.4. Применение методов конечных элементов

Во многих рассмотренных выше методах решение уравнения неразрывности (17.1) определяется через уравнение Пуассона для давления или потенциала скорости. В противоположность этому в традиционном методе конечных элементов рассматривается непосредственно уравнение (17.1). Этот метод будет рассмотрен в первую очередь. Далее будет описан метод штрафных конечных элементов. В этом методе для определения скорости решается комбинация уравнений неразрывности и импульса, а давление явно не появляется.

Метод Галёркина с конечными элементами (§ 5.3-5.5) применяется к стационарным двумерным несжимаемым уравнениям Навье-Стокса, т. е. к уравнениям (17.1) - (17.3), в которых отброшены члены, содержащие время.

Сначала, как и в (5.58), проводится интерполяция полей скоростей и давления:

u=Z и,ф, (g, л), v = Z bVi (g, л), Р = S PiVi (i, л). (17.82)

Предполагается, что интерполяция проводится на квадратичных элементах, (,11)-связанные с элементом локальные координаты. Соответствующие порядки интерполяции для различных зависимых переменных будут указаны ниже.

Подстановка (17.82) в основные уравнения приводит к ненулевым остаткам. Введение интеграла Галёркина с весами (5.5) и (5.10) дает следующие соотношения:

<l>ldxdy +

(17.83)

ду ди

ду дх

ду Г/ду

]dxdy =



В (17.84) и (17.85) было проведено интегрирование по частям вязких членов с весами; для простоты изложения предполагается, что расчетная область прямоугольная и .xl л: Xr, ув уУт. Подстановка (17.82) в (17.83) -(17.85) приводит к системе уравнений, которая может быть записана в виде

Aq = r, (17.86а)

S(q)q + Bp = R (17.86b)

где q -вектор, содержащий все неизвестные узловые значения обеих компонент скорости, а и R -известные из граничных условий Дирихле векторы.

Уравнение (17.86) является глобальной нелинейной системой. Решение обычно получается итерационно методом Ньютона (§ 6.1). На каждой итерации приходится решать разреженную линейную систему уравнений. Обычно это делается методом исключения Гаусса для разреженных систем (§ 6.2), в основе которого лежит фронтальный метод [Hood, 1976].

Основная проблема такого применения метода конечных элементов связана с выбором аппроксимирующих и весовых функций ф и фр в (17.82) -(17.85). Можно было бы ожидать, что для и, V и р в (17.82) достаточно интерполяции одинакового порядка. Однако это может привести к сингулярности, связанной с применением дискретного уравнения неразрывности (17.83) в слишком большом числе узлов. Это было обнаружено эмпирически Худом и Тейлором [Hood, Taylor, 1974]. Даже если уравнение (17.86) с математической точки зрения ведет себя хорошо, в получающемся решении в поле давления имеются сильные осцилляции; поле скоростей обычно получается гладким.

Можно напомнить, что такая же ситуация возникает при центрально-разностной аппроксимации производных от давления в уравнениях импульса, если компоненты скорости и давления определяются в одних и тех же точках сетки (п. 17.1.1). Это послужило основной причиной введения разнесенных сеток.

Тейлор и Худ преодолели проблему осцилляции давления путем введения смешанной интерполяции, биквадратичной для компонент скорости и и v и билинейной для давления р. Это позволило получить гладкое решение и широко использовалось в дальнейшем. Однако такой подход малоэффективен в том смысле, что глобальная точность второго порядка определяется билинейной интерполяцией давления, в то время как экономичность метода определяется биквадратичной интерполяцией компонент скорости. Это приводит к сравнительно плотным матрицам S, А и В в (17.86), с чем связано большое число итераций в последующем итерационном алгоритме [Fletcher, 1984].



Вычислительная эффективность повышается, если использовать линейную интерполяцию компонент скорости и постоянное значение давления на каждом элементе. Однако такая комбинация для определенных областей расчета и граничных условий может привести к осцилляциям в поле давления. Проблема осцилляции давления, возникаюпхих при различных комбинациях интерполяций, в обпхем виде рассматривалась в работе [Sani et al., 1981].

Осцилляции могут быть значительно уменьшены или совсем устранены путем специального подбора дополнительных вычислительных граничных условий, связанных с используемой интерполяцией. Необходимо всегда для давления использовать интерполяцию более низкого порядка, чем для скоростей. Если при этом все еще остаются осцилляции давления, для получения полезной информации решение можно сгладить или отфильтровать. В работе [Sani et al., 1981] теоретически обосновано и численно подтверждено, что поведение скорости всегда хорошее, даже если давление осциллирует.

Необходимость использования интерполяции более низкого порядка для давления, чем для скорости, следует непосредственно из подстановки (17.82) в (17.83). В работе [Schneider et al., 1978] показано, что если в методе вспомогательного потенциала (п. 17.2.2) используется дискретизация методом Галёркина с конечными элементами, то для интерполяции скорости и давления можно применять формулы одного порядка. Такой же результат получается при использовании группового метода конечных элементов [Fletcher, 1982; Srinivas, Fletcher, 1984] для расчета сжимаемых вязких течений при малых дозвуковых числах Маха.

По сравнению с алгоритмами типа SIMPLE на разнесенных сетках квадратичная интерполяция для скорости и линейная для давления позволяют получить очень точное решение для скорости, если только пограничные слои, образующиеся при больших числах Рейнольдса, разрешены соответствующим образом [Castro et al., 1982]. Если этого не сделано, в решении появляются осцилляции, связанные с сеточным числом Рейнольдса (п. 9.3.1). В появлении осцилляции есть и положительный момент, поскольку они указывают на то, что физически важные свойства течения не учитываются соответствующим образом.

На практике в методе конечных элементов используется сравнительно небольшое число элементов (или узловых точек), покрывающих расчетную область. Возникновение осцилляции при умеренных и больших числах Рейнольдса в решениях, полученных общепринятым методом конечных элементов, привлекло интерес к методу Петрова - Галёркина [Fletcher, 1984], позволяющего учитывать направление потока при рассмотрении



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 [ 142 ] 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка