Разделы сайта

Читаемое

Обновления Aug-2018

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 [ 143 ] 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

конвективных членов (§ 9.3). В работе [Brooks, Hughes, 1982] такой подход использовался вдоль каждой локальной линии тока, в результате чего удалось избежать численной поперечной диффузии (п. 9.5.3).

Весьма эффективный путь построения точных неосциллирующих при больших числах Рейнольдса конечно-элементных методов основан на том, что осцилляционные ошибки связываются с членами разложения высокого порядка в ряд Тейлора по времени соответствующего метода установления. Такой подход является развитием идей, изложенных в § 9.2-9.4. Данный метод впервые был предложен Бейкером [Baker, 1983]. В дальнейшем этот метод развивался под названием слабая тейлоровская трактовка (TWS) метода Галёркина с конечными элементами [Baker et al., 1987].

Применив метод штрафных функций [Temam, 1968], можно исключить явное наличие давления в уравнениях импульса. В этом методе уравнение неразрывности (17.1) заменяется уравнением

+(#+!-)-< ( -п

где 8 - малый параметр, обычно 10~ 8 10~. Данный подход имеет некоторую аналогию с методом искусственной сжимаемости (п. 17.2.1), но не требует применения метода установления. Уравнение (17.87) в точной или дискретной форме используется для исключения давления из уравнений импульса. В дальнейшем уравнение (17.87) вновь используется для определения давления. Метод штрафных функций широко применяется в сочетании с методом конечных элементов.

Для эквивалентной задачи Стокса, т. е. для уравнений Навье-Стокса без конвективных членов, показано [Baker, 1983], что метод штрафных функций может быть получен из задачи минимизации функционала, в котором одновременно выполняются уравнения неразрывности и импульса. Обобщение на уравнения Навье-Стокса следует из замены вариационной формулировки формулировкой Галёркина (взвешенных остатков) (§5.1).

Использование штрафных функций в методе конечных элементов производится двумя способами. В первом уравнение (17.87) подставляется в стационарную форму уравнений (17.2) и (17.3). Далее к полученным уравнениям применяется метод Галёркина с конечными элементами. Такой подход использовался в работе [Hughes et al., 1979], где для скоростей применялась линейная интерполяция на четырехугольных элементах.

Однако при численном определении интегралов в уравнениях, эквивалентных (17.84) и (17.85), используются квадратуры



Гаусса [Zienkiewicz, 1977]. При определении штрафных членов, заменяющих давление, необходимо использовать квадратуры сокращенного или более низкого порядка. Все остальные члены вычисляются по квадратурам достаточно высокого порядка. В работе [Sani et al, 1981] показано, что использование сокра-

WING FUEL TANK TUNNEL (MESH. VEL.. TEMP.. STRfEAMT


VELOCITY VECTOR PLOT

SCALE FACTOR .3000E+02

MAX. VECTOR PLOTTED .4684E+00

AT NODE 906

SCREEN XMIN -.499Е-Ю0 XMAX .50ie+00

YMIN -ooE+oa

YMAX .497E00

FIDAP 9 Dec 86 10: 07: 47

Рис. 17.11. Естественная конвекция в крыловом трубопроводе горючего, (а) Конечно-элементная сетка; (Ь) контуры температуры; (с) векторы скорости; (d) линии тока ([Engelman, 1982]; публикуется с разрешения Fluid

Dynamic International).

щенных квадратур эквивалентно более низкому порядку интерполяции давления.

Во втором способе -согласованном методе штрафных функций [Engelman et al., 1982] - уравнение (17.87) приводится к дискретному виду в соответствии с обычным методом Галёркина, но для давления и штрафной функции используются интерполяции более низкого порядка. После этого при помощи дискретного представления (17.87) исключается дискретное поле давления в уравнениях (17.84) и (17.85). Для четырехугольных элементов с линейной интерполяцией скорости и постоянным давлением обе формулировки идентичны на дискретном уровне.



§ 17.3. Переменные завихренность - функция тока

Вместо того чтобы решать уравнения в исходных переменных, можно, по крайней мере в двумерном случае, избежать явного наличия давления в уравнениях, если ввести в качестве зависимых переменных завихренность и функцию тока (п. 11.5.1).

В двумерном течении в векторе завихренности

g = rotq (17.88)

имеется лишь одна компонента, которая обычно определяется как

Уравнение переноса завихренности (11.85) с учетом уравнения неразрывности (17.1) может быть записано в виде

iL . IML , AMI L( + ) = o (17 90)

dt дх dy Re \dx дуЧ U/.w;

Применение штрафных функций приводит к сглаживанию поля давления [Sani et al., 1981], хотя может понадобиться и дополнительное сглаживание [Hughes et al., 1989]. Метод штрафных функций обычно значительно экономичнее смешанной интерполяции {u,v,p). При квадратичной интерполяции скорости на элементах с искривленными (для удобства описания нерегулярных областей) границами согласованный метод штрафных функций более точен [Engelman et al., 1982], чем метод сокращенного интегрирования, и лучше обоснован теоретически.

Метод конечных элементов пригоден для разработки универсальных программ расчета связанных задач: течение жидкости и перенос тепла в областях сложной геометрической формы. Примером такой универсальной программы является программа FIDAP (Fluid Dynamic Analysis Program) [Engelman, 1982]. Пример задачи, успешно моделируемой программой FIDAP, приведен на рис. 17.11.

В трубопроводе, проходящем через бак для горючего в крыле, имеются три электрических провода разной температуры. По программе FIDAP рассчитана естественная конвекция воздуха в промежутках между проводами. На рис. 17.11 приведены конечно-элементная сетка, изолинии температуры, векторы скорости и линии тока; число Рэлея равно 800 000. Можно видеть тепловые пики, поднимающиеся от горячей проволоки и отклоняющиеся к холодной. В сетке 2654 узла и 624 девятиточечных четырехугольных элементов.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 [ 143 ] 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2018 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка
Besucherzahler
счетчик посещений