Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 [ 144 ] 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

где число Рейнольдса Re = f/ooL/v. В двумерном случае функция тока определяется уравнениями

=f. = -- (17.91)

Подстановка этих выражений в уравнение (17.89) позволяет получить уравнение Пуассона для функции тока

Уравнения (17.90) -(17.92) описывают несжимаемое вязкое ламинарное течение в переменных завихренность - функция тока. Прямой подстановкой выражений (17.91) в уравнение (17.90) можно исключить явное наличие переменных и и v. Однако при такой формулировке полученное решение может оказаться менее точным. Преимуществом является то, что нет необходимости выделять дополнительную память для хранения и и V. Начальные и граничные условия для уравнений (17.90) - (17.92) рассматривались в п. 11.5.1.

Система (17.90) -(17.92) пригодна для описания как стационарных, так и нестационарных вязких ламинарных течений. Однако явно от времени зависит лишь уравнение переноса завихренности (17.90). Следовательно, для нестационарных задач на уравнения (17.90) следует, что функция тока должна определяться в соответствии с зависящей от времени завихренностью-на каждом шаге по времени.

Для нестационарных задач уравнение (17.90) параболическое по времени, если известны и и v. Поэтому для его решения может быть разработан эффективный маршевый алгоритм по времени на основе метода ADI или приближенной факторизации (§ 8.2). На каждом шаге по времени для определения г5 решается дискретное представление уравнения (17.92). Уравнение (17.92) строго эллиптическое при известной функции 5. Для его решения возможно использовать итерационные (§ 6.3) или прямые (§ 6.2) методы. Уравнение (17.92) - уравнение Пуассона и, если сетка однородная, для его решения имеются весьма эффективные прямые методы (п. 6.2.6).

Для стационарных течений уравнения (17.91), (17.92) и стационарная форма (17.90) образуют систему эллиптических уравнений в частных производных. Поскольку уравнение (17.90) нелинейное, для его решения необходимо использовать итерационный алгоритм. На каждой итерации уравнения (17.90) и (17.92) используются последовательно или как связанная система для определения и \f). В работе [Gupta, Manohar, 1979] применялся последовательный алгоритм.



= (t/?); -f о (Д%2), 1 = L S; + о (А/) и т. д.,

Чтобы использовать граничные условия Дирихле для стационарной формы (17.90), необходимо применить метод нижней релаксации при определении значений завихренности на границе. Это связано с тем, что физически согласованные граничные условия можно ввести для \f и (Эг)/5п, но не для 5. Если для записано численное граничное условие, удовлетворяющее интегральному граничному условию (11.90), нижней релаксации не требуется [Quartapelle, Valz-Gris, 1981], даже если используется последовательный алгоритм.

Однако, если стационарная форма (17.90) и (17.92) решается как связанная система, достаточно двух граничных условий для и д/дп. В работе [Campion-Renson, Crochet, 1978] использовался такой подход в методе конечных элементов для исследования течения в движущейся полости. Граничных условий для 5 не требуется.

Другим способом определения стационарного решения является псевдонестационарный метод (§ 6.4). Для его применения 07.92) заменяется уравнением

~{+-}-<- о-ЗД

Когда стационарное состояние достигнуто, уравнение (17.93) обращается в (17.92). Шаг по времени Дт, появляющийся после дискретизации (17.93), является дополнительным параметром контроля псевдонестационарных итераций. При применении метода установления возможно как последовательное, так и совместное решение уравнений (17.90) и (17.93). Типичные примеры приведены в следующем разделе.

17,3.1, Применение конечно-разностных методов

В данном разделе рассматриваются наиболее типичные последовательные и связанные алгоритмы решения задачи о стационарном течении в движущейся полости (рис. 17.12). Крышка полости движется вправо с постоянной скоростью и=\. Граничные условия прилипания для компонент скорости и v\ v эквивалентны, согласно (17.91), приведенным на рисунке граничным условиям для \f) и дур/дп.

Далее будет описан алгоритм решения уравнений (17.90) и (17.93), основанный на методе установления [Mallinson, de Vahl Davis, 1973]. В этом методе для аппроксимации производных на однородной сетке используются центральные трехточечные разностные формулы. В обозначениях гл. 8



Lx (uOfk----.

В работе [Mallinson, de Vahl Davis, 1973] использовалось полудискретное представление уравнения (17.90):

(17.95)

A% = {imLyyt k- Ly{vt)i,k,

е - релаксационный параметр, который может изменяться по пространству. Для всех точек сетки можно записать векторное уравнение

(17.96)

Элементы матриц и определяются уравнениями (17.94). Уравнение (17.96) и эквивалентное полудискретное векторное

А Vi


Ф=0,

Рис. 17.12. Двумерная движущаяся полость.

уравнение, полученное из (17.93), интегрируются по времени методом Самарского и Андреева [Samarskii, Andreev, 1963]

[/ - 0.58 А/А] АГ = 8 А/ [А + А] Г,

[/~0.58А/А]аГ=АГ, g+=r + Ar

Очевидно, что (17.97) эквивалентно (8.23) и (8.24) при р = 0.5 и и у в А- и А, определяемых на временном слое п. По существу это приближенная факторизация с аппроксимацией Кранка-Николсона по времени. Из рассмотрения модифицирован-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 [ 144 ] 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка