На удаленной границе {АВ на рис. 17.14) и=1 и =0. Функция тока получается из уравнений (17.123), (17.124) с до-бавлением члена кхМуНАв/Ау к правой части (17.123). Операторы My и Lyy имеют вид

Му{0, 1-. тГ- .. = (0. -I. (17.134)

Как показано на рис. 17.14, расчетная граница смещается на тонкий слой от твердой поверхности. При помощи анализа порядков величин [Fletcher, Srinivas, 1983] значения и, v и ур на границе слоя выражаются через завихренность на границе слоя. Введение поверхностного слоя позволяет изолировать угловые точки (D и £ на рис. 17.14) от расчетной области. Это важно, поскольку завихренность ведет себя сингулярным образом на острой кромке. Для локального определения и, v и вблизи острой кромки используется аналитическое решение для завихренности [Lugt, Schwiderski, 1965]. Детали приведены в работе [Fletcher, Srinivas, 1983].

Вся процедура определения решения на новом временном слое состоит из следующих шагов. В результате решения уравнений (17.120) и (17.121) находится t+K После этого для определения ifi+i три-четыре раза решаются уравнения (17.123), (17.124). Значения и+ и определяются из (17.125). Процедура повторяется до тех пор, пока решение не перестает изменяться. В результате получается стационарное решение.

Описанный метод использовался для расчета ламинарного течения за двумерным уступом, изображенным на рис. 17.14. Характерные результаты, касающиеся длины отрывной зоны за уступом, приведены на рис. 17.16. Очевидно, имеется хорошее совпадение с экспериментальными данными [Sinha et al., 1981; Goldstein et al., 1970]. Поток отрывается от острой кромки {Е на рис. 17.14), и за поверхностью ED образуется отрывная зона с медленно вращающейся жидкостью. Граница отрывной зоны образуется разветвляющейся линией тока, которая сходит с кромки Е и присоединяется к поверхности DC на расстоянии, зависящем в основном от числа Рейнольдса, рассчитанного по высоте ступеньки (рис. 17.16). Расстояние от обратной поверхности уступа до точки присоединения Хг слабо зависит от толщины пограничного слоя набегающего потока вблизи точки F на рис. 17.14. В этом причина различия двух наборов экспериментальных данных.

Наиболее мелкая сетка используется вблизи точки Е на рис. 17.14. Размер шагов возрастает в положительном и отрицательном направлениях х до тех пор, пока шаг Дл: не станет равным Дхтах; после этого Гх = 1. В направлении у Ау = Аутт

ОТ DC ДО FC (граница набегающего пограничного слоя). Между FC и АВ Ау нарастает с геометрическим отношением Гу. Для более мелких сеток Гх 1.04, Гу 1.07. Для более грубых сеток ГхуГу 1.15. В зависимости от числа Рейнольдса сходимость к стационарному решению требуется от 500 до 1000 шагов

- о 20.00- о

16.00

Н 12.00

4J30-

А ▲

случай

случаи

случай С случай D случай £

111 х67

сетк. 59X59

▲о

[S/nha etal , 1981J [Gcidstein eta!., 1970)

J I I I 1 I i L

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 Re,

Рис. 17.16. Положение точки присоединения при обтекании уступа.

ПО Времени. Состояние считается стационарным, если остаток, т. е. RHS в (17.117), становится меньше 10

В результате применения массовых операторов в уравнениях, подобных (17.114), точность метода конечных элементов выше точности эквивалентных конечно-разностных методов. Эквивалентные конечно-разностные методы могут быть получены в результате сборки массовых операторов. Например, Мх в (17.115) заменяется оператором

Таким образом, путем сквозного деления на 0.25(1-\-Гх) {1-\-Гу) можно избежать явного появления массовых операторов в конечно-разностной форме уравнений, подобных (17.93).

Влияние сборки массовых операторов на точность, устойчивость и вычислительную эффективность алгоритма исследовалось в работе [Fletcher, Srinivas, 1984]. На грубой сетке

(29X18) для получения устойчивого решения массовые операторы необходимо сохранять вблизи расчетных границ. Сборка во внутренних точках не влияет на устойчивость и не приводит к значительному снижению точности. В двумерном случае массовая сборка во внутренней области дает небольшой (18%) выигрыш в экономичности. Если соответствующая формулировка в переменных скорость - завихренность (п. 17.4.2) используется в трехмерном случае, из оценки числа операторов

--k=KSTEP

----- -1---f(=KSTEP-l

v77777777)Yl

h=1.0

Рис. 17.17. Область расчета при обтекании полости, обращенной вниз по

потоку.

следует, что внутренняя массовая сборка позволяет получить экономию порядка 40 %.

Рассмотренный метод может быть использован для расчета течения около обращенной по потоку полости (рис. 17.17). Полость образуется путем добавления кромки EG к уступу. Наличие полости сдвигает первичную область вращающейся жидкости вниз по потоку, а внутри полости могут возникнуть вторичные циркуляционные зоны. Для изменения картины циркуляционного течения по нормали к DE вводится вдув и отсос жидкости.

Уравнения и граничные условия для этой задачи имеют тот же вид, что и в случае обтекания уступа. Функция тока \f) полагается равной нулю на FGE. Распределение функции тока ilDf получается в результате интегрирования известной скорости вдува и отсоса жидкости ude- На отрезке DC значение функции тока постоянно, фрс =