ИЗ уравнения нормальной составляющей импульса, которое может быть приведено к следующей безразмерной форме:

где 5 измеряется вдоль тела. При больших числах Рейнольдса для течений, параллельных плоской поверхности, уравнение (17.136) сводится к приближению пограничного слоя др/дп = = 0. Решение уравнения (17.135) должно также удовлетворять глобальному интегральному ограничению (17.16). Из этого следует

Для внутренних течений, где условия Неймана ставятся на всех границах, важно обеспечить выполнение (17.137).

Поскольку уравнение (17.135) есть уравнение Пуассона, любой из методов решения строго эллиптических задач пригоден для решения дискретного аналога уравнения (17.135). Если дискретизация проводится на однородной сетке, можно использовать прямые методы решения уравнения Пуассона (п. 6.2.6). Для решения на однородных и неоднородных сетках пригодны итерационные методы, описанные в § 6.3.

Для внешних течений, подобных течению за уступом, имеет смысл вместо давления использовать переменную Бернулли Н (11.49). В безразмерном виде

H = Cp + u+v\ (17.138)

где коэффициент давления Ср = {р - p)/0,5pulo. Из уравнений импульса вместо (17.135) можно получить уравнение Пуассона для Я:

+-f- = 2(ii -i). (,7.>39,

Уравнение (17.139) применимо для описания стационарных и нестационарных течений. Граничные условия Неймана и Дирихле для Н получаются из уравнений импульса. В областях, где течение локально невязкое, значение Н постоянно. Следовательно, для течений около изолированных тел решение дискретного аналога уравнения (17.139) можно проводить с удаленной границей, расположенной гораздо ближе к телу, чем при решении уравнения (17.135). Уравнение (17.139) использовалось для определения глобального распределения давления в задаче об обтекании направленной по потоку полости [Fletchef, Barbuto, 1986а, Ь].

dt v v;

Структура уравнения (17.140) аналогична (17.90), за исключением того, что здесь появляется новый член (g-V)u, который можно трактовать как растяжение завихренности. В декартовых координатах х-компонента уравнения (17.140) равна

dtx , <5/ч, d . . . d , . du du du

Для двумерных стационарных течений уравнения (17.135) или (17.139) достаточно решить лишь один раз, после того как найдено поле скоростей. Если при рассмотрении нестационарного течения требуется знать давление, уравнения (17.135) или (17.139) необходимо решать на каждом шаге по времени. В этом случае чаще используются исходные переменные, а не завихренность - функция тока.

§ 17.4. Завихренность при описании трехмерных течений

В двумерном случае описание течений в переменных завихренность- функция тока часто оказывается эффективней описания в исходных переменных. В первую очередь это связано с тем, что использование функции тока позволяет избежать явного решения уравнения неразрывности (7.1). В случае трех пространственных переменных описание течений через завихренность приводит к большему (обычно шесть) числу зависимых переменных, чем описание в исходных переменных (обычно четыре). В связи с этим описание трехмерных течений на основе завихренности используется нечасто.

В данном параграфе рассматриваются два подхода. В обоих подходах используется трехмерное уравнение переноса завихренности и давление явно не присутствует. Способы описания отличаются выбором дополнительных уравнений, позволяющих получить поле скоростей.

17,4.1. Описание через завихренность и векторный потенциал

При обобщении на трехмерный случай описания течений в переменных завихренность - функция тока (§ 17.3) требуется заменить функцию тока трехкомпонентным векторным потенциалом, а также необходимо рассматривать все три компоненты скорости.

Трехмерное уравнение переноса завихренности, заменяющее (17.90), имеет вид

+V-(ug)-(g.V)u--V2g = 0. (17.140)

Три компоненты завихренности связаны с компонентами скорости соотношением =rotu. Однако, чтобы получить поле скоростей из поля завихренности, необходимо ввести векторный потенциал ifi, такой, что

u = roti), (17.142)

т. е.

ду dz дг дх дх ду

Очевидно, что векторный потенциал if является трехмерным обобщением скалярной функции тока в двумерном случае

трехмерным эквивалентом уравнения (17.92) является уравнение

Vt = -g. (17.143)

Таким образом, трехмерное вязкое несжимаемое течение описывается уравнениями (17.140), (17.142) и (17.143). Поскольку в каждом уравнении имеются три компоненты, расчет трехмерных течений через завихренность и векторный потенциал менее экономичен, чем расчет в исходных переменных (§ 17.1 и 17.2). Однако, поскольку уравнения (17.140) являются уравнениями переноса, а (17.143) -уравнением Пуассона, для их решения можно использовать те же численные методы, что и в двумерном случае.

Для внутренних течений, как и в задаче о движущейся полости, в работе [Aziz, Heliums, 1967] приведены граничные условия для векторного потенциала:

1) на поверхности л: = const: - = Ф, = Ф2 = 0

2) на поверхности у = const: =ф =Ф2 = О (17.144)

3) на поверхности 2 = const: -- = Фх = Ф/ = 0 и для завихренности:

J. V /л . dw dv

1) на поверхности л: = const: , = 0, t,y =--Zz-*

2) на поверхности г/= const: g;c = - ?/ = 0, ?2 = -- li

(17.145)

3) на поверхности 2 = const: Zx -* уТГ 2 = 0.