Можно заключить, что описание, основанное на завихренности, в трехмерном случае менее эффективно описания в исходных переменных, если только движение вихря, в особенности нестационарное, не представляет особого интереса. Кроме того, можно отметить, что практически все моделирования турбулентности проводились в исходных переменных.

§ 17.5. Заключение

Исторически описание в переменных завихренность - функция тока было весьма популярно при расчете двумерных несжимаемых вязких течений. Хотя такое описание является экономичным, постановка эффективных граничных условий для завихренности на твердой поверхности является его слабым местом. Кроме того, экономичность описания на основе завихренности не распространяется на трехмерный случай.

Поэтому расчеты несжимаемых вязких течений чаще проводятся в исходных переменных. Основные трудности связаны с уравнением неразрывности. Неявным образом это осуществляется в методе MAC (п. 17.1.2), алгоритме SIMPLE (п. 17.2.3) и штрафном методе конечных элементов (п. 17.2.4). Более явно выполнение уравнения неразрывности осуществляется в методе искусственной сжимаемости (п. 17.2.1), вспомогательного потенциала (п. 17.2.2) и в традиционном методе конечных элементов (п. 17.2.4).

Давление обычно определяется из решения уравнения Пуассона. Это уравнение может появляться в непрерывной форме, как при формулировке через завихренность и функцию тока (§ 17.3), или в дискретной форме, как в методе MAC (п. 17.1.2) и методе проекций (п. 17.1.4). Оно может появляться и в замаскированной форме, как в методе вспомогательного потенциала (п. 17.2.2) и алгоритме SIMPLE (п. 17.2.3).

Если для конвективных членов и градиентов давления используются трехточечные центральные разности, имеет смысл использовать разнесенные сетки (п. 17.1.1), в первую очередь чтобы избежать осцилляции в давлении. Однако использование разнесенных сеток в обобщенных координатах весьма обременительно.

Чтобы получить точное решение без сильного сгущения сетки для течений с большими градиентами скорости, часто имеет смысл использовать разностные формулы высокого порядка точности для аппроксимации конвективных членов (п. 17.1.5). Однако вся схема при этом может стать менее работоспособной, особенно если такую аппроксимацию использовать в явном маршевом алгоритме.

Для различных способов расчета несжимаемых вязких течений могут быть использованы различные способы дискретизации. Так в спектральном методе (п. 17.1.6) применяется метод проекций. В групповом методе конечных элементов (п. 17.3.3) используется метод установления, очень похожий на используемый в конечно-разностных методах (п. 17.3.1). В методе конечного объема (п. 17.2.3) применяется алгоритм SIMPLE, очень похожий на метод вспомогательной потенциальной функции (п. 17.2.2).

В данной книге не приводится описание метода вихрей, который в простейшей форме моделирует несжимаемые вязкие течения при помощ.и точечных вихрей, удовлетворяюпхих уравнению Лапласа (11.51). Такие методы описаны в работах Леонарда [Leonard, 1980, 1985] и использовались для качественного описания сложных нестационарных отрывных течений (например, [Oshima et al., 1986]).

§ 17.6. Задачи

Исходные переменные: нестационарные течения (§ 17.1)

17.1. Проинтегрируйте уравнение (17.1) на квадрате Oxl, Ot/ 1 и покажите, что выполняется условие (17.4). Разделите область на четыре ячейки x = y = 0.5 и покажите, что выполняются и дискретные аналоги, если и и v определяются на сторонах ячеек (рис. 17.1) и для аппроксимации производных, как в (17.5), используются двухточечные разности.

17.2. Покажите, что дискретное уравнение Пуассона для давления (17.13), (17.14) может быть получено из уравнения (17.12).

17.3. Проведите на основе уравнений (17.18) и (17.19) анализ, из которого следует, что метод MAC позволяет определить однородные граничные условия на границе.

17.4. Положив и равной константе, покажите, что схема дискретизации (17.31)-(17.33) эквивалентна (9.71), (9.72).

17.5. Покажите, что уравнения (17.41) и (17.42) следуют из (17.39), (17.40) и поэтому в алгоритме CPSM не требуются значения w* и v на границе.

Исходные переменные: стационарные течения (§ 17.2)

17.6. Покажите, что якобианы А и В определяются выражениями (17.48). Покажите прямой подстановкой, что F = Aq -wDq и G = Bq - uDq.

17.7. Сравните функции потенциала давления в п. 17.2.2 с коррекцией давления в методе Хирта и Кука (17.26) -(17.29) и с коррекцией давления в алгоритме SIMPLE (п. 17.2.3).

17.8. Выведите конкретные выражения для а и а , в (17.69) и а и ajj в (17.77). Покажите, что (17.77) является разностным уравнением Пуассона относительно б/?.

17.9. Как изменится вид уравнения (17.69), если для дискретного представления конвективных членов в (17.2) использовать трехточечную схему против потока второго порядка точности ( = 1.5 в (9.53))?

Переменные завихренность - функция тока (§ 17.3)

17.10. Покажите, что дискретизация d(ut,)/dXy приведенная в (17.98),. обращается в трехточечную центрально-разностную схему, если (w£) +* == = (w£) т.е. в стационарном состоянии.

17.11. Выведите граничные условия первого и второго порядков точности (17.104) и (17.107) для завихренности на твердой поверхности.

17.12. Получите выражения для массового и разностного операторов

(17.115) на неоднородной сетке, применив метод Галёркина с конечными элементами в одном измерении с линейной интерполяцией (§ 5.4 и т. 1, приложение А.2).

17.13. Путем введения трехслойной дискретизации по времени (17.114) получите схему (17.116). Покажите, что в результате линеаризации уравнения

(17.116) можно получить схему (17.119) и что (17.120) и (17.121) с точностью до 0(А/2) совпадают с (17.119).

17.14. Получите уравнения (17.125), применив одномерный метод Галёркина к уравнению (17.91). Проведите разложение в ряд Тейлора, чтобы показать, что порядок аппроксимации (17.125) на однородной сетке равен четырем. Какова точность на неоднородной сетке?

17.15. Используйте результаты п. 8.4.2 и покажите, что g(u)= ufe/Ai/ при определении (17.127) на поверхности FE.

17.16. Выведите уравнение Пуассона (17.139) для функции Бернулли. Завихренность при описании трехмерных течений (§ 17.4)

17.17. Для определения поправки компоненты завихренности А * разработайте скалярный трехшаговый алгоритм приближенной факторизации, основанный на трехточечной центрально-разностной дискретизации уравнения (17.141).

17.18. Выведите уравнение Пуассона (17.151) для компонент скорости.