В уравнениях (18.32)

т / , ди т 4 dv 2 ,f.

тад = (ц+ цг)-5, fj/j/ = -3 (l + *г)---з-p*

Можно заметить, что при подстановке различных членов в (18.31) получаются лишь производные по у, а смешанные производные исключаются. Это облегчает построение неявных схем (п. 18.4.1). Приближение тонкого слоя обычно используется в обобщенных координатах (гл. 12 и п. 18.4.1). Обобщенные координаты для большинства геометрий выбираются таким образом, чтобы физическая диссипация была существенна лишь в одном направлении. Однако для течения вблизи точки пересечения двух стенок следует сохранить диссипативные члены в направлении нормали к обеим стенкам. В приближении тонкого слоя при этом отбрасываются некоторые смешанные производные с порядком величины, равным оставленным членам. На практике это мало влияет на общую точность решения [Hung, Kordulla, 1984].

Приближение тонкого слоя для стационарного течения можно * рассматривать как укороченную форму уравнений Навье- Стокса (гл. 16). По существу то же самое приближение используется при построении пространственного маршевого алгоритма для расчета вязкого сверхзвукового течения (п. 16.3.1). Однако в приближении тонкого слоя не требуется, чтобы и было больше нуля. Вместо этого в приближении тонкого слоя для определения стационарного решения используется метод установления (§ 16.4). Поэтому данным методом могут быть рассчитаны течения с небольшими отрывными зонами в направлении потока. Приближение тонкого слоя широко используется в расчетах [Chaussee, 1984] и позволяет получать результаты, хорошо совпадающие с экспериментальными данными.

§ 18.2. Явные схемы

В п. 18.2.1 будет рассмотрено применение явной схемы Мак-Кормака для решения сжимаемых уравнений Навье-Стокса. Хотя данная схема и экономична при расчете существенно нестационарных течений, ограничение КФЛ с числом Куранта, равным единице, делает ее менее удобной при расчете стационарных течений. Схемы Рунге-Кутты, позволяющие использовать большие шаги по времени, описаны в п. 18.2.2.

18.2.1, Явная схема Мак-Кормака

Наиболее широко используемой явной схемой для решения сжимаемых уравнений Навье-Стокса является схема Мак-Кормака [MacCormack, 1969]. Для одномерного невязкого течения эта схема описана в п. 14.2.2, а для многомерного невязкого течения с пространственной переменной, играющей роль времени,- в п. 14.2.4. Применение схемы Мак-Кормака для решения уравнений со вторыми пространственными производными будет продемонстрировано здесь на примере двумерных уравнений Бюргерса (10.57) и (10.58). При обобщении на сжимаемые уравнения Навье - Стокса (18.6) -(18.10) возникает дополнительная трудность, связанная со смешанными вторыми производными, которая будет рассмотрена позже.

Двумерные уравнения Бюргерса записываются, как и в (10.52), в виде

l + lf + f-S = 0. (18.33)

f ti\ / u - v du/dx \ / UV du/dy \

~\v) ~\uv - v dv/dx A ~\u - v dv/dy J *

/ 0,5u (u + v)/v \ \0.5v{u -\- v)/v J

Применительно к системе (18.33) схема Мак-Кормака на однородной сетке имеет вид Шаг предиктор

(18.35)

Шаг корректор ЧП = (41. + Ч; .) - 0-5 [П . - ,1 -

- [G;. k - .-,] + 0.5 AS;,(18.36)

Можно заметить, что каждая пространственная группа F или G на шагах предиктор и корректор аппроксимируется односторонними конечно-разностными операторами. Вся схема имеет второй порядок точности по времени и пространству, если для аппроксимации производных, фигурирующих в F и G (см. (18.34)), используются разности, обратные используемым для F и G в уравнениях (18.35) и (18.36). Например, на шаге

Предиктор

(18.37)

Для сжимаемых уравнений Навье-Стокса (18.6) можно непо* средственно применять схему предиктор-корректор (18.35), (18.36), положив S = 0. Однако в выражениях (18.7) -(18.10), определяющих значения F и G, фигурируют производные по разным направлениям. Например,

G, = puv - (IX + Иг) (-17 + If) (18.38)

Дискретизация ди/ду проводится так же, как в (18.37). Для dv/dx используются центральные разности. Таким образом, на шаге корректор

(02)д , = (Р)/., - (li + 1t)j, k \r-T- +--Г-)

{G,)l = (p.);, - (i + (T + (18.39)

Применение разностей вперед на шаге предиктор и разностей назад на шаге корректор можно поменять местами. Порядок использования разностей может быть различен для разных пространственных направлений. Однако для сохранения второго порядка точности необходимо сохранять симметрию разностных формул на шагах предиктор и корректор.

Вопросы устойчивости схемы Мак-Кормака для решения уравнений (18.33) и (18.6) рассматривались в работе [Peyret,. Taylor, 1983]; точных результатов не получено. Поскольку схема явная, можно ожидать, что невязкая часть уравнений должна приводить к ограничению типа КФЛ, аналогичному (9.11), а вязкая часть -к ограничению диффузионного типа (п. 7.1.1).

Для скалярного эквивалента уравнения (18.33) в работе [Peyret, Taylor, 1983] рекомендуется при Ах = Ау использовать следующее необходимое условие устойчивости:

4v + ( T+o)A. = 08-40)

ДЛЯ ламинарных сжимаемых уравнений Навье-Стокса (18.6) рекомендуется при Ал: = Ау использовать следующее условие