Разделы сайта

Читаемое

Обновления Feb-2018

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 [ 161 ] 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

При ЭТОМ предполагается, что из граничного условия Дирихле на правой границе j = NX можно определить дмх. Вычисления по формуле (18.56) проводятся в сторону уменьшающихся значений / до тех пор, пока не будет достигнута левая граница. Полный неявный алгоритм численного решения уравнения (18.49) состоит из следующих шагов. Сначала проводятся вычисления по формулам (18.50), затем - по формулам (18.53). После этого следует шаг корректор, состоящий из вычислений по формуле (18.51) и затем -по (18.54).

При обобщении метода на сжимаемые уравнения Навье- Стокса (18.6) неявный алгоритм следует представить в виде

) + {-k + W в)] = ИЛ (18.57) где якобианы k = dF/dq и В = dG/dq и Aq+i = - [(ЗР/5л:+

+ dG/dy]ik- Пространственные производные в левой части (18.57) действуют на произведения AAq и BAq. Из сопоставления с (14.103) следует, что v = 0, Р=1, и в (18.57) требуется ввести еще пространственную дискретизацию.

Полный алгоритм, эквивалентный (18.50) - (18.54), может быть представлен в виде

Шаг npeduKTOp

(I - MLA ) (i - A/Lb ) Aq;;-/ = Aq;-1 (18.58)

Шаг корректор

(i - a/l; A ) (i - al;b ) aq;;;- =Aq;- (18.59)

q;?;, = 0.5(q + q* + Aq-+b).

Односторонние разностные операторы, применяемые к F и G, совпадают с описанными в § 18.2. Для смешанных производных используются центральные разности.

Модифицированные матрицы Якоби и В связаны с действительными матрицами Якоби для невязкого течения, но их собственные числа всегда положительны. Матрицы Якоби невязкого течения могут быть модифицированы, как в (14.107), т. е.

А = Тл ЧлТл, В = Тв ЧвТв, (18.60)



где Лл и Ав-диагональные матрицы, составленные из собственных чисел матриц А и В, т. е.

diag Ал = {и, и + а, и, и - а}, diag А = {v, v, v + a, a}.

(18.61)

Матрицы Тл и Тв приведены в работе [MacCormack, 1982]. Модифицированные матрицы Якоби имеют вид

А = ЦОТл, = Тв VTb. (18.62)

Здесь и - диагональные матрицы, диагональные элементы которых имеют вид

of, I - max

Of;=max[Л,.,+--, о]. (18.64)

где V = max(4jLi/3,7[х/Рг). Значения р. и Рг в зависимости от рассматриваемого случая можно считать ламинарными или турбулентными. Правые части уравнений (18.63) и (18.64) могут быть лишь неотрицательными. Данные уравнения являются обобщением условия (18.55) для двумерных систем уравнений. То есть, если соответствующие диагональные элементы Du i и Dui больше нуля, в (18.58) и (18.59) включаются неявные шаги. Если / и (или) £)f, / равны нулю, явная схема будет устойчива и в неявных шагах нет необходимости.

Неявные шаги осуществляются в два этапа. На шаге предиктор сначала в результате решения уравнения

[I + A-J Aq;; [ = Aq!; + A , Aq;-; , (18.65)

определяется промежуточная неявная поправка Aq** . Начиная с линии сетки k = NY и правой границы / = NX, уравнение (18.65) используют для расчетов при уменьшающихся значениях / до тех пор, пока не будет достигнута левая граница. Далее процесс повторяется в сторону уменьшающихся k, пока не будет достигнута нижняя граница.

Из сопоставления уравнений (18.65) и (18.58) следует, что

(I - A/L;B ) Aq;;-/ = Aq); [, (18.66)

Следовательно, Aq**;* определяется уравнением

I + B-JAq;;-;=Aq;;;+в-, Aq;;-;;, (= w). (i8.67)



Уравнение (18.67) используется начиная с линии сетки j = NX и верхней границы k = NY в сторону уменьшающихся значений k. Далее процесс повторяется при уменьшающихся значениях / до тех пор, пока не будет достигнута левая граница. Матрицы А и В в уравнениях (18.65), (18.66) имеют блочную структуру. Поэтому на каждом шаге требуется решать систему уравнений размерности 4X4. Однако этого можно избежать, если использовать формулы (18.62). Уравнение (18.67) можно представить в виде

(i + (т) DT) Aq;;-/ = w. (is.es)

Здесь W означает правую часть уравнения (18.67). Умножая обе части уравнения (18.68) на и выполняя несложные преобразования, получаем

Aq;;; = (l + D)TW = Y, (18.69)

Aq-. = (T)-4. (18.70)

Следует отметить, что матрица (Т)- может быть определена аналитически. Мак-Кормак [MacCormack, 1982] отметил, что при программной реализации вычислений по формулам (18.68) - (18.70), заменяющим (18.67), требуется около 28 фортранов-ских операторов. Аналогичный алгоритм может быть построен для решения (18.65).

Описанный алгоритм при применении его к сжимаемым уравнениям Навье-Стокса имеет, как и в случае модельного уравнения (18.49), второй порядок точности по пространственной переменной. Мак-Кормак [MacCormack, 1982] использовал описанный метод для расчета отрывного течения, обусловленного взаимодействием скачка с пограничным слоем.

При образовании модифицированных матриц Якоби А и В вязкие члены учитываются лишь приближенно. Поэтому метод работает лучше при определении стационарных, чем нестационарных решений. При расчете трансзвуковых течений около агродинамических профилей под углом атаки [KorduUa, MacCormack, 1982] обнаружено, что если использовать большие шаги по времени, необходимо в явную и неявную части (18.58) и (18.59) включать численную диссипацию.

Из сравнения известных значений времени счета следует, что неявный алгоритм (18.58), (18.59) требует для расчета одной точки примерно столько же времени, сколько и блочно-трехдиа-гональный алгоритм, который будет рассмотрен в п. 18.3.2. Однако преимуществом схемы Мак-Кормака является то, что для



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 [ 161 ] 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2018 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка