Разделы сайта
Читаемое
Обновления Mar-2024
|
Промышленность Ижоры --> Динамика жидкости: уравнения При ЭТОМ предполагается, что из граничного условия Дирихле на правой границе j = NX можно определить дмх. Вычисления по формуле (18.56) проводятся в сторону уменьшающихся значений / до тех пор, пока не будет достигнута левая граница. Полный неявный алгоритм численного решения уравнения (18.49) состоит из следующих шагов. Сначала проводятся вычисления по формулам (18.50), затем - по формулам (18.53). После этого следует шаг корректор, состоящий из вычислений по формуле (18.51) и затем -по (18.54). При обобщении метода на сжимаемые уравнения Навье- Стокса (18.6) неявный алгоритм следует представить в виде ) + {-k + W в)] = ИЛ (18.57) где якобианы k = dF/dq и В = dG/dq и Aq+i = - [(ЗР/5л:+ + dG/dy]ik- Пространственные производные в левой части (18.57) действуют на произведения AAq и BAq. Из сопоставления с (14.103) следует, что v = 0, Р=1, и в (18.57) требуется ввести еще пространственную дискретизацию. Полный алгоритм, эквивалентный (18.50) - (18.54), может быть представлен в виде Шаг npeduKTOp (I - MLA ) (i - A/Lb ) Aq;;-/ = Aq;-1 (18.58) Шаг корректор (i - a/l; A ) (i - al;b ) aq;;;- =Aq;- (18.59) q;?;, = 0.5(q + q* + Aq-+b). Односторонние разностные операторы, применяемые к F и G, совпадают с описанными в § 18.2. Для смешанных производных используются центральные разности. Модифицированные матрицы Якоби и В связаны с действительными матрицами Якоби для невязкого течения, но их собственные числа всегда положительны. Матрицы Якоби невязкого течения могут быть модифицированы, как в (14.107), т. е. А = Тл ЧлТл, В = Тв ЧвТв, (18.60) где Лл и Ав-диагональные матрицы, составленные из собственных чисел матриц А и В, т. е. diag Ал = {и, и + а, и, и - а}, diag А = {v, v, v + a, a}. (18.61) Матрицы Тл и Тв приведены в работе [MacCormack, 1982]. Модифицированные матрицы Якоби имеют вид А = ЦОТл, = Тв VTb. (18.62) Здесь и - диагональные матрицы, диагональные элементы которых имеют вид of, I - max Of;=max[Л,.,+--, о]. (18.64) где V = max(4jLi/3,7[х/Рг). Значения р. и Рг в зависимости от рассматриваемого случая можно считать ламинарными или турбулентными. Правые части уравнений (18.63) и (18.64) могут быть лишь неотрицательными. Данные уравнения являются обобщением условия (18.55) для двумерных систем уравнений. То есть, если соответствующие диагональные элементы Du i и Dui больше нуля, в (18.58) и (18.59) включаются неявные шаги. Если / и (или) £)f, / равны нулю, явная схема будет устойчива и в неявных шагах нет необходимости. Неявные шаги осуществляются в два этапа. На шаге предиктор сначала в результате решения уравнения [I + A-J Aq;; [ = Aq!; + A , Aq;-; , (18.65) определяется промежуточная неявная поправка Aq** . Начиная с линии сетки k = NY и правой границы / = NX, уравнение (18.65) используют для расчетов при уменьшающихся значениях / до тех пор, пока не будет достигнута левая граница. Далее процесс повторяется в сторону уменьшающихся k, пока не будет достигнута нижняя граница. Из сопоставления уравнений (18.65) и (18.58) следует, что (I - A/L;B ) Aq;;-/ = Aq); [, (18.66) Следовательно, Aq**;* определяется уравнением I + B-JAq;;-;=Aq;;;+в-, Aq;;-;;, (= w). (i8.67) Уравнение (18.67) используется начиная с линии сетки j = NX и верхней границы k = NY в сторону уменьшающихся значений k. Далее процесс повторяется при уменьшающихся значениях / до тех пор, пока не будет достигнута левая граница. Матрицы А и В в уравнениях (18.65), (18.66) имеют блочную структуру. Поэтому на каждом шаге требуется решать систему уравнений размерности 4X4. Однако этого можно избежать, если использовать формулы (18.62). Уравнение (18.67) можно представить в виде (i + (т) DT) Aq;;-/ = w. (is.es) Здесь W означает правую часть уравнения (18.67). Умножая обе части уравнения (18.68) на и выполняя несложные преобразования, получаем Aq;;; = (l + D)TW = Y, (18.69) Aq-. = (T)-4. (18.70) Следует отметить, что матрица (Т)- может быть определена аналитически. Мак-Кормак [MacCormack, 1982] отметил, что при программной реализации вычислений по формулам (18.68) - (18.70), заменяющим (18.67), требуется около 28 фортранов-ских операторов. Аналогичный алгоритм может быть построен для решения (18.65). Описанный алгоритм при применении его к сжимаемым уравнениям Навье-Стокса имеет, как и в случае модельного уравнения (18.49), второй порядок точности по пространственной переменной. Мак-Кормак [MacCormack, 1982] использовал описанный метод для расчета отрывного течения, обусловленного взаимодействием скачка с пограничным слоем. При образовании модифицированных матриц Якоби А и В вязкие члены учитываются лишь приближенно. Поэтому метод работает лучше при определении стационарных, чем нестационарных решений. При расчете трансзвуковых течений около агродинамических профилей под углом атаки [KorduUa, MacCormack, 1982] обнаружено, что если использовать большие шаги по времени, необходимо в явную и неявную части (18.58) и (18.59) включать численную диссипацию. Из сравнения известных значений времени счета следует, что неявный алгоритм (18.58), (18.59) требует для расчета одной точки примерно столько же времени, сколько и блочно-трехдиа-гональный алгоритм, который будет рассмотрен в п. 18.3.2. Однако преимуществом схемы Мак-Кормака является то, что для
|
© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка |