Подстановка (18.75) и (18.76) в уравнение (18.73) позволяет получить линейную относительно Aq + систему уравнений

[>+1(ж(А-Р + Н.г-Г) +

+ ( It (В - <i + -Aq-=

(18.77)

Аналитические выражения для -Р + Rx, -Q + S/, R и S получены Бимом и Уормингом. Значение в (18.77) при решении нестационарных задач полагается равным р, поскольку при р= = а + 0.5 схема имеет второй порядок точности по времени. Однако при решении методом установления (§ 6.4) стационарных задач для сокращения числа операций целесообразно использовать схему первого порядка по времени и положить Р = 0. Точность схемы (18.77) по пространству зависит от используемой дискретизации; Бим и Уорминг рекомендуют использовать центральные разности второго порядка.

Уравнение (18.77) линейное, но глобально связанное. С точностью до второго порядка по времени левая часть (18.77) может быть приближенно факторизована аналогично тому, как это сделано при замене уравнения (14.103) уравнением (14.104). Приближенная факторизация приводит к двухшаговому алгоритму, аналогичному (14.105) и (14.106):

{ + 1. (А - Р + R.) - ЬЖ ] } Aq- = Aq-, (18.78)

{ I -f [L, (В ~ Q -f S,] - LyyS] } Aq-+ = Aq*. (18.79)

В уравнениях (18.78) и (18.79) Lл:дR]}Aq* означает L:a(R Aq*) и т. д., Aq - вектор, полученный в результате вычисления правой части уравнения (18.77). Если Lx, Lxx, Ly и Li/- трехточечные центрально-разностные операторы, как в (9.85), система (18.78) является (4Х 4)-блочно-трехдиагональной вдоль каждой линии сетки в направлении л:, а (18.79) есть (4Х4)-блоч-но-трехдиагональная система вдоль каждой линии сетки в направлении у. В п. 6.2.5 описан алгоритм решения таких систем.

В работе [Beam, Warming, 1978] отмечается, что если пренебречь зависимостью р, и й от q, то -Р-- Ra:=0 и -Q+Si/=0. Уравнения (18.78) и (18.79) при этом упрощаются. Данное свойство можно использовать в методе установления, поскольку

стационарное решение не зависит от левых частей уравнений (18.78), (18.79).

При больших числах Рейнольдса или при наличии слабых скачков рекомендуется добавить численную диссипацию более высокого (обычно четвертого) порядка (п. 18.5.1). Алгоритм Бима-Уорминга применим для решения чисто гиперболических уравнений [Beam, Warming, 1976], к которым относятся уравнения Эйлера (п. 14.2.8). Однако оказывается, что в трехмерном гиперболическом случае алгоритм лишь условно устойчив [Jameson, Turkel, 1981].

Аналогичный безытерационный алгоритм приближенной факторизации для сжимаемых уравнений Навье-Стокса предложен Брили и Мак-Дональдом [Briley, McDonald, 1977]. Для вязких течений с большими числами Рейнольдса применение неявных алгоритмов эквивалентно методу установления, поскольку можно использовать числа Куранта много больше единицы. В двумерном случае числа Куранта равны (i/-- а) At/Ах и (\v\-\- a)At/Ay. Часто оказывается, что стационарное решение получается за меньшее число шагов по времени, если берется порядка 0(10). Слишком большие значения приводят к тому, что ошибки, связанные с приближенной факторизацией, нарушают сходимость. Слишком малые шаги по времени не нарушают сходимости, но делают ее неоправданно медленной.

18.3.3. Групповой метод конечных элементов

Для трансзвуковых условий [х и k примерно постоянны и уравнение энергии может быть заменено алгебраическим уравнением (18.30). В результате удобнее заменить уравнения (18.6) - (18.8) системой из трех уравнений

где F и - невязкие составляющие F и G в (18.7). При соответствующем обезразмеривании различные векторы в уравнении (18.80) имеют вид

q = {р, ри, pvY, F = {ри, р 2 + Р, puvY,

G = {pv,puv,pv + pY, R = {, il, (18.81)

В записанных выражениях эффективная вязкость [le ~ = 1/Re+ 17. Такая форма уравнений пригодна для ламинар-

ных (Lir = 0) И турбулентных течений. Однако члены типа ид[1т/ду -\-(ди/ду) (дхт/ду) в уравнениях х- и /-компонент импульса опущены. Эти члены существенны лишь в непосредственной близости к твердой поверхности, где решение обычно определяется через пристенные функции (18.23). Параметр 6 в R и Т - диссипативный член, введенный для устойчивости дискретных уравнений в случае течений с большими числами Re. В уравнениях (18.80), (18.81) четыре зависимые переменные U, у, р и р. Для замыкания системы используется уравнение (18.30), которое в безразмерной форме имеет вид

1 + vMp = Р {1 + 0.5 (Y - 1) М [1 - {и + )] }, (18.82)

где Моо - число Маха набегающего потока, у - отношение удельных теплоемкостей.

Групповой метод конечных элементов (§ 10.3) применяется к системе (18.80) путем введения приближенных или пробных решений для групп в (18.81). Например, при билинейной интерполяции на прямоугольных элементах (§ 5.3)

F=Z Ф {х,у)Р, (18.83)

где фт - билинейные интерполирующие функции (5.59), а - узловые значения F Применение метода Галёркина с конечными элементами к уравнениям (18.80), (18.81) позволяет получить следующую полудискретную форму:

Mx(S Му + Му( LJF + М( LyG =

= MyL + L(S>LyS + M(S>LyyT, (18.84)

Пространственные массовые и разностные операторы определяются формулами (17.115).

Для интегрирования (18.84) по времени можно использовать неявный трехслойный алгоритм, аналогичный (17.120), (17.121). В результате получается двухшаговый алгоритм

Мх -jm(Lxx-L, (А))] Aq* =

= jfmsr + jMx<MyAq\ (18.85)

My-YM (..-i:-,(B))]Aq +=Aq*. (18.86)

Поскольку q, F и т. д. - векторы с тремя компонентами, уравнения (18.85), (18.86) образуют (3 X 3)-блочно-трехдиагональные системы соответственно вдоль х- и у-линий сетки. Для