Разделы сайта

Читаемое

Обновления Aug-2018

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 [ 165 ] 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

Производной может быть заменен выражением

-Ч =(. -:)Ч . (18.91)

где Lt и Lx - односторонние двухточечные разностные операторы, приведенные после формулы (18.51). С точностью до О (Л/) оператор LAAqj- может быть заменен оператором

LAAq.--L; (л; Л + (/ (18-92)

Л+ = 0.5 (Л +1 ЛI), Л~ = 0.5 (Л -1 Л I).

(18.93)

Очевидно, что в зависимости от знака Л либо Л+, либо Л- будет равно нулю. Подстановка в (18.90) позволяет получить систему уравнений

A<7;+=AiRHS .

(18.94)

С точностью до 0(Af) (18.94) можно заменить системой

1 + Р А1;(л; -f £)][l + PAZ:( Af\ + )] A?; = А/ RHS

(18.95)

которая является LU-разложением, поскольку первый множитель является нижнетреугольным, а второй - верхнетреугольным. Уравнение (18.95) решается в два этапа:

а,;=[а/ rhs + р [Af + ) а,! ,]/ 1 + р (л;.

(18.96)

-К+р в- (М; I+i7) ч:;И+pj (И;

(18.97)

Уравнение (18.96) решается последовательно от левой границы в сторону уменьшающихся значений /. Уравнение (18.97) решается от правой границы в сторону увеличивающихся значений /. Можно заметить, что приближения, введенные для определения неявных членов, не влияют на стационарное решение, RHS = 0. Таким образом, LU-факторизация является работоспособным и экономичным алгоритмом расчета стационарных решений.

Для сжимаемых уравнений Навье -Стокса LU-факторизация может быть проведена следующим образом. Уравнение



(18.6) записывается в виде

Ж-+~у---Тх---W -

Для упрощения изложения предполагается, что цг = О и = 0. Приближенно факторизованное дискретное представление уравнения (18.98) может быть записано в виде

{1 + р ML {А - Р) ] [I + р MLy {В - Q} ] Aq = RHS , (18.99) где

RHS = LF - F0 + L,(G - G), (18.100)

А=, В = , Р = , Q =

Уравнение (18.99) аналогично алгоритму Бима - Уорминга (18.78), (18.79), за исключением лишь того, что в (18.99) а = = 0 и по-другому аппроксимируются вязкие члены, приводящие к смешанным производным. Это упрощает алгоритм и может быть использовано при определении стационарного решения методом установления, поскольку такое упрощение не влияет на стационарное решение.

Уравнение (18.100) можно также рассматривать как эквивалентное уравнение (18.90). Для проведения приближенной LU-факторизации уравнения (18.99) необходимо, используя разложение (18.60), выделить собственные числа матриц А и В. Из (18.61) следует, что значения собственных чисел могут быть или больше или меньше нуля. Следовательно, матрицы собственных чисел Лл и Ав можно разделить на положительную и отрицательную части:

Лл = А1 + ЛЯ, Ab = AJ+Ab, (18.101)

где, как и в (18.93) для скалярного случая. Ал = 0.5 {А + А 1} и Ал=0.5{Ад~Ал}.

В результате разложения (18.101) выражения LA и L/B в уравнении (18.100) можно заменить, как и в скалярном случае, суммой односторонних разностных операторов, связанных с положительными или отрицательными собственными числами. Например,

и аналогично для Ly. Поскольку F = Aq, можно провести и расщепление потока [Steger, Warming, 1981], в результате чего поток представляется в виде Р = F+ + F~. Данный вопрос кратко обсуждался в п. 14.2.5 в связи с расчетом сверхзвуко-



вых течений со скачками. В рассматриваемом алгоритме, следуя работе [Obayashi, Kuwahara, 1986], расщепление сводится лишь для проведения приближенной LU-факторизации неявных членов.

Благодаря приближенно неявному рассмотрению вязких членов можно провести также расщепление LxP и LyQ:

Lp = LxxP = {Lt - Lx ) P/Ajc, (18.102)

и аналогично для LyQ, Следовательно, в уравнении (18.100)

Lx {А - Р} Lx {IaAXIa + P/Ajc) - Lt (Тд Ад + PJAx),

(18.103)

В аналогичном виде представляется Ly{B - Q}. Однако в работе [Obayashi, Kuwahara, 1986] P/Ajc заменяется выражением Тдй1Тл\ где k выбирается из условия устойчивости, т. е.

= v/(RepAA:), v = max(2M Y!/Pr). (18.104)

Такое приближение Р напоминает скалярную форму (18.95). При этом приближении, а также используя приближенную факторизацию, можно провести дальнейшую факторизацию уравнения (18.99), в результате чего получим LU-форму

[i + PA/L;A] [i - PALA ] [i + PA/L;b] X

X [I - PA/LB~] Aq = А/ RHS (18.105)

А = Тл (лг + /1)Тл. (18.106)

Каждый множитель в (18.105) двухдиагональный и может быть разрешен относительно Aq за один проход в положительном или отрицательном направлениях х или у. Таким образом, весь алгоритм решения системы (18.105) может быть представлен в виде

[I + MLxk\ Aq* = At RHS\ [l - pA/LJ A ] Aq** = Aq*,

(18.107)

[I + PA/L;B+] Aq*** = Aq**, [l - pA/LB ] Aq = A***.

В качестве примера при решении второй системы осуществляется проход справа налево в направлении х. В каждой точке



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 [ 165 ] 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2018 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка
Besucherzahler
счетчик посещений