сетки для определения Aq решается следующая система уравнений размерности 4X4:

+ Р ] = Aq*. . + Р А/;,. ,Aq;;i. . (18.108)

Поскольку матрица А может быть представлена в факторизо-ванном виде (18.106), для определения Aq*% можно использовать алгоритм (18.68) -(18.70). Решение системы (18.108) проводится для всех линий сетки в направлении у. Другие системы уравнений из (18.107) решаются аналогично системе (18.108).

В работе [Obayashi, Kuwahara, 1986] применялся описанный выше алгоритм для расчета взаимодействия скачка с ламинарным пограничным слоем. В работе [Fujii, Obayashi, 1986] данный метод применялся для расчета трансзвукового турбулентного течения около аэродинамического профиля при помощи дискретизации в обобщенных координатах (гл. 12 и § 18.4).

§ 18.4. Обобщенные координаты

Для расчета течений около гладких тел произвольной формы удобно ввести связанные с телом обобщенные координаты (гл. 12). Вид уравнений (18.6), описывающих сжимаемые течения, в обобщенных координатах ненамного сложнее, чем в декартовых. Для течений с большими числами Рейнольдса и небольшими отрывными зонами целесообразно использовать обобщенные координаты в сочетании с приближением тонкого слоя (п. 18.1.3). Преимуществом приближения тонкого слоя является то, что при его использовании максимально сохраняется неявное представление вязких членов, особенно в алгоритмах приближенной факторизации (п. 18.4.1).

Использование обобщенных координат оставляет открытым вопрос о способе дискретизации в расчетной области. В п. 18.4.2 будет описан групповой метод конечных элементов, в котором явно введены массовые операторы. В п. 18.4.2 будет описан способ построения приближенно факторизованного алгоритма, сохраняющего структуру массовых операторов.

18,4J. Приближение тонкого слоя Стегера

Используя описанные в гл. 12 методы, систему уравнений для двумерных сжимаемых вязких течений в обобщенных координатах можно представить в виде

A4-i4---4- (18 109)

pv Е

F = J

{E+p)W

G = J

S= Re /

pV puV + y\xP pvV + ЦуР {E + p) r

xxx ~f yxy xxy + iyyy - ?x4 + yS/

ЛЛх + Пухх Цхху + r\yXyy

(18.110)

При выводе уравнения (18.109) предполагается, что 1 = 1{х,у), Г] = т] (л:, i/). Вид дополнительных членов в уравнениях (18.110) в более общем случае 1 = Цх, y,zj) Ц = ц{х, Уу zj) для трехмерных течений можно найти в работе [Chaussee, 1984]. Для простоты в данном разделе рассматривается ламинарная форма уравнений (18.6) - (18.10), рг = 0, Рг7 = 0. Кроме того, декартовы компоненты скорости и п v отнесены к Лоо, скорости звука в набегающем потоке, плотность -к ро и полная энергия- к Poolo- Поэтому число Рейнольдса Re = pooaooL/Lioo, где L - характерная длина.

Якобиан / в (18.110) определяется выражением

(18.111)

Различные метрические коэффициенты 1х и т. д., как и в § 12.2, определяются численно один раз после построения сетки. Контравариантные компоненты скорости t/ и связаны с декартовыми составляющими и и v соотношениями

U = lxU + lyV, V = y],u + nyV.

(18.112)

Потоки и выражаются через соответствующие декартовы векторы F и (14.95) формулами

F = -F -f-y-G, G = -F -f -G. (18.113)

Члены i?4 и S4 в уравнении энергии равны

R, = их + t T + ,

S, = UX,y+VXyy+--.

Различные сдвиговые напряжения определяются формулами (18.9) при р,7. = 0 и k =0.

Благодаря тому что вязкие члены выражаются через сдвиговые напряжения, нет необходимости прямого вычисления вторых производных lxx и т. д. в параметрах преобразования. Следует напомнить (п. 12.2.3), что при введении обобщенных координат вторые производные аппроксимируются менее точно, чем первые. При дискретизации вязкие члены Ххх и т. д. определяются в точках сетки. После этого делаются второе преобразование и необходима дискретизация для определения вязких напряжений через поле скоростей.

Для течений с большими числами Рейнольдса вязкие эффекты существенны лишь вблизи твердой поверхности и в области следа. Поэтому если в рассматриваемом течении нет больших отрывов в направлении течения, имеет смысл использовать приближение тонкого слоя (п. 18.1.3).

Используя соответствующую сетку (например, С-сетку около изолированного аэродинамического профиля), можно обеспечить достаточную мелкость сетки в одном направлении, например т], для разрешения существенных вязких членов как вблизи твердой поверхности, так и в следе. Как показано на рис. 18.2, грубая сетка используется в направлении, параллельном телу (направление ). На такой грубой сетке вязкие члены, связанные с производными по I, не могут быть представлены достаточно точно. Следовательно, все производные по g, связанные с членами R и S в уравнении (18.109), следует опустить. Очевидно, что приближение тонкого слоя вводится в расчетной области, а не в физической.

В приближении тонкого слоя (18.109) заменяется уравнением