НИИ, представляемом рядом (18.153), можно получить лишь члены с волновыми числами до N = (NX-1)/2. Очевидно, ударная волна содержит волновые числа, большие Л, с конечной амплитудой.

Можно напомнить (п. 10.1.1), что увеличение крутизны профилей и образование разрывов или скачков при отсутствии диссипации связано с нелинейными конвективными членами.

и(х)

u(x)=raexp(imx)

Рис. 18.11. Спектральный анализ разрывной функции, (а) Профиль скорости; (Ь) спектральное представление.

Однако, если рассмотреть представление решения и в виде ряда Фурье, конвективный член иди/дх образует произведение

ди дх

ИЗ которого следует появление волновых чисел m - l и т + L Таким образом, дискретное нестационарное решение, содержащее волновые числа до m = на каждом шаге по времени, образует большие волновые числа. Амплитуды волновых чисел больше добавляются к волновым числам меньше Л. Вновь построенное решение показывает, что в решении появляется ошибка, связанная с побочным эффектом (aliasing). Если этот процесс не контролируется, то может возникнуть нелинейная неустойчивость.

Схематически данный процесс изображен на рис. 18.12. Волновые числа больше (совпадающего с предельным волновым числом т = п/Ах) называются подсеточными волновыми числами. Численная диссипация умышленно введена так, чтобы вызвать быстрое затухание амплитуды волновых чисел, близких и по смыслу больших предельного волнового числа. Это препятствует их добавлению к амплитудам, соответствующим меньшим волновым числам. Следует отметить, что для больших чисел Рейнольдса турбулентная вязкость обычно приводит

К затуханию волн лишь со значительно большими волновыми числами.

Для течений со скачками численная диссипация вводится локально, т. е. на скачке. Это может быть сделано явно, как в п. 14.2.7. Однако схемы ограничения потока, описанные в п. 14.2.6 и 18.5.2, можно интерпретировать как обычные (центральные) разностные схемы с добавкой численной диссипации.

Сеточное усечение

W=7r/Z\x m

Рис. 18.12. Численная диссипация подсеточных амплитуд.

Для течений с большими числами Рейнольдса вдали от скачков уровень численной диссипации, необходимой для контроля побочного эффекта, намного меньше, чем для скачков, в основном потому, что в этом случае амплитуды, эквивалентные изображенным на рис. 18.11, много меньше. В областях, где существенна физическая диссипация, т. е. в сдвиговых слоях, численная диссипация должна быть достаточно мала, так чтобы она не нарушала баланса между другими членами уравнений, т. е. численная диссипация не должна влиять на решение.

18.5.1. Течения с большими числами Рейнольдса

Для течений с большими числами Рейнольдса около неподвижных тел вязкие и турбулентные эффекты влияют на решение лишь вблизи тела. Турбулентность, в частности через модели турбулентной вязкости (п. 18.1.1), обеспечивает прямой физический механизм диссипации в уравнениях импульса. Ламинарные вязкие эффекты пренебрежимо малы по сравнению с турбулентными. Для разрешения больших градиентов скорости требуются мелкие сетки, и величина физической диссипации оказывается достаточной для контроля нелинейной неустойчивости, представленной на рис. 18.12.

Однако вдали от тела турбулентная вязкость, а, следовательно, и физическая диссипация, пренебрежимо малы. В этой области решение определяется балансом между конвективными членами и градиентом давления. Для контроля нелинейной неустойчивости необходимо добавить численную диссипацию.

Можно напомнить (п. 17.1.1), что при использовании симметричных разностей для градиентов давления и одних и тех же точек сетки для представления всех зависимых переменных в получаемом решении для давления появляются осцилляции. Поскольку в сжимаемых уравнениях Навье-Стокса нет члена, обеспечивающего прямую диссипацию давления, появления осцилляции в давлении можно ожидать и вдали от тела, если физическая диссипация, действующая через поле скоростей, окажется недостаточной.

Мак-Кормак и Болдуин [MacCormack, Baldwin, 1975] пытались осуществить контроль колебаний давления путем добавления в правую часть уравнения (18.6) диссипативного члена вида

%(Д.)<(1). (18.154)

Этот член приводит к появлению ошибки четвертого порядка. Он обеспечивает сглаживание значений q, причем это сглаживание пропорционально \др/дх\. Если осцилляции р увеличиваются, увеличивается и сглаживание q. Поскольку р через уравнение (18.8) связано с q, поле давления также будет сглаживаться. При использовании явной схемы Мак-Кормака (п. 18.2.1) из условия устойчивости следует, что О 8£ 0.5. Мак-Кормак и Болдуин добавили член (18.154) в оператор Рх в схеме расщепления (18.44) при исследовании взаимодействия ударной волны с пограничным слоем.

В более общем случае к правой части уравнения (18.6) добавляется член

- ((Д) + (ДУ) 0)- (18.155) На однородной сетке 1лен (Axydq/dx имеет вид

(Ах)- q/-2. k - 4q/ i. k + 6q/. k - 4q/+i, k + q/+2. k (18.156)

и аналогично для (Ay)5q/(?y. В обобщенных координатах численная диссипация такого типа включалась в схему приближенной факторизации Стегера (18.122) -(18.124). К правой части уравнения (18.117) добавлялся член

- 8я/- [(VVif + (V A/]/q. (18.157)