Разделы сайта

Читаемое

Обновления Jun-2018

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [ 19 ] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

В качестве примера можно привести первые производные от компонент скорости и, v и w по х, у и z. Они имеют вид

ди

ди

- дх

dz

dl -

dz

(12.2)

Здесь фигурирует матрица Якоби преобразования J, которая равна

dl dl dl

dx dy dz

dx dy dz

dl dl dl

dx dy dz

(12.3)

В принципе, если известны аналитические зависимости I = = 1{х, у, z)y элементы матрицы J могут быть определены непосредственно. На практике явные аналитические связи не всегда известны, и более удобно работать с обратной матрицей Якоби определяемой выражением

дх -

dl

(12.4)

Элементы матрицы J- можно выразить через элементы матрицы J, если заметить, что

- Транспонированная к алгебраическому дополнению J /- -v J =-jyTfj-. I12.b>

Определитель обратного якобиана J- равен

I J M = 5 - yz - {yz - yz) + x (yZr - yzl (12.6)

где x = dxldl и t. д. В случае двух переменных {l,r\) выражение (12.6) упрощается (г= 1, У = а: = 0)и принимает вид

\i\ = xy-xy.



IJ-I

J-4 задается выражением (12.6). После построения сетки в физической области (гл. 13) можно определить дискретную форму элементов, например х, обратной матрицы Якоби (§ 12.2). После этого для определения элементов, например \х, матрицы Якоби (12.3) используются уравнения (12.7). Это облегчает дискретизацию уравнений в обобщенных координатах, где они имеют более компактную структуру лри записи их с использованием \х и т. д., а не и т. д.

12,1.2. Метрический тензор и физические свойства преобразования

Для установления связи между обобщенными, ортогональ ными и конформными координатами удобно ввести в рассмотрение метрический тензор ga, который связан с матрицей Якоби J (12.3). При этом будут использоваться тензорные обозначения fAris, 1962].

Предполагается, что физическая область рассматривается в декартовых координатах х(=Ху у, z), i=l,3, а расчетная - в обобщенных координатах 4 = 1 Л ?), i= ЬЗ.

Малое расстояние As между двумя точками физического пространства может быть выражено через приращения координат

As2=E Дл:Aл: (12.8)

Изменения физических координат Ах могут быть связаны с соответствующими изменениями обобщенных координат А-

Ах = А1 (12.9)

(подразумевается суммирование по i). Следовательно, малое расстояние А5 связано с обобщенными координатами соотноше-

Используя (12.5) и (12.6), элементы матрицы J в (12.3) можно выразить в форме

Уг?\-НЧ Hl-ЧЧ - b-s V , /,074 л*- . Лг/- . Лг- 1,-11 . и--/;



нием

A = Z(l7A)(-iA/) = AW (12.

(подразумевается суммирование по i и /), где

(12.11)

Метрический тензор gtf устанавливает связь малых изменений обобщенных координат Al с расстоянием As. Более подробно метрический тензор рассматривается Арисом [Aris, 1962].


Рис. 12.3. Физические свойства расчетной сетки.

В двумерном случае длины отрезков, связанные с малыми изменениями I и т) соответственно, равны Д5 = (2Д и As = = г/2Дт, (рис. 12.3).

В случае двух координат соотношение (12.11) удобно представить в виде матрицы

(12.12)

где, как и ранее, х=.дх1д\, а jJ] -детерминант матрицы Якоби (12.3).



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [ 19 ] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2018 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка
Besucherzahler
счетчик посещений