lgf= J 4. (12.13)

Это легко получить, особенно в двумерном случае, прямой подстановкой.

Метрический тензор ga и различные параметры преобразования л: и т. д. могут быть связаны с физическими свойствами расчетной сетки (рис. 12.3). Здесь будет приведен ряд формул для случая двух координат. Площадь ячейки сетки (рис. 12.3) определяется соотношением

Площадь = I g f ААл, (12.14)

которое, согласно (12.13), дает физическую интерпретацию обратного якобиана. Физическая ориентация расчетной сетки (касательная к координатной линии g) относительно оси х задается косинусом угла наклона

Отношение сторон сетки AR определяется отношением длины касательных векторов (при А = Ат1)

Локальная деформация сетки определяется углом 6 между координатными линиями I и ц:

cose= (12.17)

В трехмерном случае связь физических сеточных параметров с компонентами метрического тензора определена в работе [КегИск, Klopfer, 1982].

12.1.3. Ограничения на ортогональные и конформные координаты

Использование обобщенных координат позволяет рассматривать произвольные геометрии. Однако хорошо известно, что точность решения уменьшается при деформации сетки. Для получения высокой точности сетка должна быть ортогональной или почти ортогональной. Для ортогональных систем координат некоторые члены преобразования пропадают и уравнения упрощаются. Если, кроме того, система координат конформная, происходит дальнейшее упрощение уравнений. Использование

В матричном виде метрический тензор может быть выражен через обратный якобиан (12.6): g = (J-i)J- Определяя детерминант, можно получить

ПОЛНОСТЬЮ ортогональных или конформных систем координат возможно лишь при сравнительно простой форме границ расчетной области. При этом возникают некоторые ограничения на положение сеточных узлов.

Для двумерной ортогональной сетки должно выполняться условие 6 = 90 (рис. 12.3). Тогда, согласно (12.17),

gi2 = хХг + УУт1 = 0. (12.18)

В трехмерном случае условие ортогональности имеет вид

gij = 0. (12.19)

Если система координат ортогональная, т. е. метрический тензор содержит только диагональные члены gu, удобно ввести обозначения

hi=={giif, /=1, 2, 3 (нет суммирования). (12.20)

Члены hi могут рассматриваться как скалярные множители, поскольку на ортогональных сетках при малых изменениях координаты l В физической области имеет место соотношение

Д5 = Л/А (нет суммирования). (12.21)

В двумерном случае из условия ортогональности, согласно (12.12), следует

Xr = AR, у = AR, (12.22)

где AR - отношение сторон сетки (12.16).

При AR = 1 условия (12.22) сводятся к условиям Коши - Римана и сетка получается конформная. Если AR постоянно, но не равно единице, простое изменение масштаба по g и приведет к соответствующей конформной системе координат.

Уровень сложности уравнений в различных системах координат может быть оценен из рассмотрения уравнения Лапласа. В двумерном случае в декартовых координатах оно имеет вид

+ = (12.23)

В обобщенных координатах (, т]) уравнение (12.23) можно записать в следующем виде:

dl I g dl дцГ s dl 5T,) -

где 22 и т. д. определяются из (12.12), а g - из соотношения \gi g> = xy-x. (12.25)

TlTlJ

= 0. (12.26)

Здесь / - определитель матрицы J (ранее обозначаемый через J), а S/%=lxx\lyy и т. д. Можно заметить, что в (12.26) входят вторая смешанная производная и первые производные, которых нет при записи в декартовых координатах. Кроме того, члены V% VTi содержат вторые производные от параметров преобразования, которые часто бывает трудно определить с требуемой точностью (п. 12.2.3).

Если система координат ортогональная, то gi2 = О и уравнение (12.24) принимает вид

где ортогональные скалярные множители равны

Соответствующая консервативная форма уравнения (12.27) совпадает с (12.26), за исключением того, что в ней отсутствует смешанная вторая производная. Для конформной сетки h\ = h2 и сеточные параметры удовлетворяют условиям Коши - Римана

Хг = -У1, Уг, = Н (12.28)

Поскольку /ii=/i2, уравнение (12.27) сводится к уравнению Лапласа

?и + г,л = 0, (12.29)

т. е. структура уравнения не сложнее, чем в декартовых координатах.

Выбор между конформными, ортогональными или обобщенными координатами обычно определяется природой расчетных границ. Если геометрия расчетной области достаточно проста и сетка может быть построена таким образом, что ее точки попадают в область больших градиентов, следует использовать конформные координаты, поскольку они вводят в уравнения

Другими словами, g - детерминант матрицы g. Такое обозначение, а не g, как в (12.4), использовано здесь для компактности.

Подстановкой в (12.24) различных членов можно после некоторых преобразований получить консервативную форму этого уравнения (п. 12.3.2):