Разделы сайта

Читаемое

Обновления Aug-2018

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

2Ag2

(-/-1 --/ + -/+1

--()]- <->

Разложением в ряд Тейлора в узле / конечно-разностное выражение в правой части приводится к виду

RHS = 7 [l-2(r-l)]+..., (12.42)

Т. е. данная аппроксимация имеет ошибку 0(Ах2), если Гх = = 1 + 0(Ал:). Однако, если это не выполняется, такая аппроксимация Тхх в расчетной области вообще неверна. Это указывает на то, что точность аппроксимации вторых производных (при использовании обобщенных координат с увеличением сетки) падает быстрее, чем первых.

Если сетка неортогональна, использование обобщенных координат в многомерном случае приводит к появлению дополнительных членов в ошибке аппроксимации. Обычно эти ошибки пропорциональны cos 6 [Thompson et al., 1985], значение которого определяется выражением (12.17). Однако общепринято, что допустимы отклонения от ортогональности до 45

При расчете течений с ударными волнами или областями больших градиентов, как правило, желательно представить уравнения в консервативной форме (12.54) и дискретизацию их про-

ние по тем же разностным формулам, что и Т, предпочтительней, поскольку при этом в ошибке аппроксимации пропадает член{х/х)Тх и ошибка в решении будет меньше.

Кроме того, использование формул более высокого порядка или точных выражений ллях и х может привести к невыполнению некоторых метрических тождеств [Thompson et al., 1985], что влечет за собой появление ложных источниковых членов если производится дискретизация уравнений, записанных в консервативном виде (см. ниже). При любом способе аппроксимации х и х использование быстро растущих сеток приводит к большим значениям х и х, что увеличивает ошибку аппроксимации дТ/дх.

Таким образом, в общем случае ошибка аппроксимации определяется параметрами преобразования и, как в случае однородных сеток, размером шага сетки и производными более высокого порядка.

Дискретизацию дТ/дх в одномерной расчетной области (рис. 12.7) можно осуществить следующим образом:

дТ ( 2ЛЕ \2Г(Г ~2Г + Г;0



ВОДИТЬ так, чтобы она сохраняла консервативность. При ис-лользовании обобщенных координат возникают дополнительные трудности. Это может быть продемонстрировано на примере дискретизации первой производной Тх. В двумерном случае

= {Ту\ - {Ту\ = Ту - Ту. (12.43)

Первое равенство является представлением Тх в расчетных координатах в консервативной форме; второе равенство - неконсервативное представление. При использовании центральных разностей первое равенство преобразуется к виду (предполагается, что А = Ат] = 1)

{J-Tx)f k 0.5 [(Гг/,)у4-1, k - k - (Тук ki + W/, /-il-

(12.44)

Если параметры преобразования также определяются центральными разностями, то (12.44) можно выразить в виде

irT)f, 0.25 , (У/+1, - ,.i) ~

/-1, kiyf-i, k+i - ife-i) - /,fe+i (У/+1, k+\ - У/-1, k+i) +

+ 7/,fe-i(i/Ki,fe-i-f -i,fe-i)]. (12.45)

Если Г постоянна, то правая часть (12.45), как это и должно быть, обращается в нуль.

Однако, если уг\ и у в (12.44) определяются аналитически, то нет гарантии, что правая часть (12.43) будет равна нулю при постоянной Т. Из рассмотрения неконсервативной формы (12.43) следует, что Гл: = 0 в случае постоянной Т при любом определении уц и у.

Важность консервативного представления уравнений приводит к следующему правилу [Thompson et al., 1984]. Параметры преобразования и т. п. должны определяться численно, а не аналитически, причем по тем же дискретным формулам, что и производные зависимых переменных.

Другой важный результат, следующий из анализа ошибок аппроксимации, состоит в том, что параметры роста шага сетки, например Гх на рис. 12.7, должны быть близки к единице. Данное обстоятельство особенно существенно, если в уравнения входят вторые производные от физических параметров. Строгая ортогональность сетки уменьшает число членов в преобразованных уравнениях и, таким образом, делает алгоритмы расчета более экономными. Однако точность расчетов на сетках, близких к ортогональным, сравнима с точностью, полученной на строго ортогональных сетках.



§ 12.3. Структура типичных уравнений в обобщенных координатах

Соотношения, выведенные в п. 12.1.1, будут использованы в данном параграфе для записи типичных уравнений в частных производных в обобщенных координатах. В п. 12.3.1 и 12.3.2 в общем виде рассмотрены двумерные уравнения в частных производных первого и второго порядков. В п. 12.3.3 полученные формулы применяются к уравнениям, описывающим движение жидкости.

12,3,1, Уравнение в частных производных первого порядка

В данном пункте уравнение в частных производных общего вида будет преобразовано к эквивалентному уравнению в обобщенных координатах. Подобную не более сложную структуру имеют уравнения, описывающие движение невязкой жидкости, записанные в консервативном виде.

Рассматривается следующее двумерное уравнение:

gt + Fx + Gy = 0, (12.46)

где Fx = dF/dx и т. д.

Предполагается, что сетка в физической области (рис. 12.1) не изменяется со временем, т. е. обобщенные координаты (, г]) являются функциями только (х,у). Таким образом,

1 = 1{х, У\ Л = Л(, У). (12.47)

Более общий случай, когда сетка изменяется со временем, т. е. g = (x, у,/), л =П(-. У 0> рассмотрен в работах [Steger, 1978: Thompson et al., 1985]. Введение обозначений

д £ д . д д р д . д

дх dl дг\ ду dl дг\

позволяет записать (12.46) в виде

(4-) + !+ Ml + J!,+Ji2, o, (,2.48>

/ = 1.Л. - 1уЦ. = TThrr (12-49)

Параметр /, определяемый выражением (12.49), есть якобиан преобразования координат (12.3).



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2018 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка
Besucherzahler
счетчик посещений