Разделы сайта

Читаемое

Обновления Aug-2018

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [ 33 ] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

между касательной к координатной линии и осью х\ значение направляющего косинуса вычисляется по формуле (12.15). Очевидно, что если для некоторого конформного преобразования значения h и а известны, величины X(=/icosa) и т. д. можно определить непосредственно из (13.1).

Если используется конформное преобразование, расчетная сетка (I, т)) связана с физической сеткой уравнениями Лапласа

1хх + 1уу = 0, Цхх + Цуу = 0 (13.2>

и условиями Коши - Римана: 1х = Цу и 1у = -Цх. Поскольку уравнения (13.2) имеют точные решения, можно построить решения 1{х,у) и ц(х,у) путем суперпозиции и перехода к комплексным переменным [Milne-Thomson, 1968].

Используя комплексные переменные z = x + iy и £ = I + /л* конформное преобразование можно записать в символьной форме Z=f(), или более конкретно

dZ = Hdl или 7 = Яй, (13.3)

Н = he = h (cos а -f / sin а). (13.4)

Таким образом, согласно (13.1), Н содержит параметры преобразования XI и др.

Традиционно [Milne-Thomson, 1968] конформные преобразования использовались для расчета потенциальных течений (§ 11.3) около тел сложной формы с использованием известных решений для обтекания тел простой формы, таких, как окружность единичного радиуса (единичная окружность).

Здесь конформные преобразования используются для построения сеток без какого-либо ограничения на тип течения. На практике линии сетки могут быть выбраны так, чтобы они совпадали с линиями тока эквивалентной задачи потенциального обтекания. Это обстоятельство часто улучшает устойчивость численного метода, используемого для расчета более общей задачи.

В качестве законченного метода построения сеток конформное отображение можно рассматривать состоящим из двух этапов:

1) построение одного или последовательности отображений в результате чего получается соответствие между граничными точками в физической и расчетной областях;

2) построение внутренних точек в физической области, определяемое соответствием граничных точек, полученных на эта-пе (1).



13,2,2, Последовательные конформные отображения

Последовательность преобразований часто строится на основе преобразований Кармана - Треффтца [Milne-Thomson, 1968]:

где а, 6 в плоскости Z и А, В в плоскости Z выбираются в соответствии с рассматриваемой геометрией. Преобразование Кармана- Треффтца отображает аэродинамический профиль в плоскости Z в близкий к круговому профиль в плоскости Z\ Отображение будет рассмотрено на примере профиля, изображенного на рис. 13.13.

Параметры, входящие в (13.5), выбираются следующим образом:

A = Zt, B = Z , fl=-6 = iiL £L, k = 2-x/n. (13.6)

Положение точки Zt соответствует задней кромке профиля, а Zn лежит в точке, равноотстоящей от носка профиля и центра кривизны. Преобразование сингулярно в этих двух точках. Значение параметра k связано с задней кромкой, поскольку в соответствии с (13.6) в него входит угол т. При выборе параметров согласно (13.6) аэродинамический профиль в плоскости Z отображается в близкий к круговому профиль в плоскости Z (рис. 13.13), центр которого расположен вблизи точки С. Легко видеть, что угол т разворачивается до 180° в плоскости Z\

Подразумевается, что, согласно общей философии построения сеток, расчетная область обычно является простым прямоугольником, внутренние точки в котором образуют равномерную сетку.

Будет рассмотрено два подхода. Первый подход (п. 13.2.2) лрименим к хорошо обтекаемым телам, таким, как аэродинамические профили или лопатки турбин, которые путем последовательности отображений могут быть преобразованы в единичный квадрат. Во втором подходе (п. 13.2.3) используется одношаго-вое отображение, основанное на преобразовании Шварца - Кри-стоффеля многоугольника с сторонами в прямую линию. В настоящее время имеются различные модификации преобразования Шварца - Кристоффеля, делающие возможным отображение тел различной формы.



Преобразование (13.5) удобно представить в виде следующей последовательности:

со = 4, (13.7а)

Z- Б а - bv

(13.7b) (13.7c)

Выражения (13.7a) и (13.7c) включают в себя только линейные преобразования. Однако в выражении (13.7Ь) имеется не-

Плоскость Z

Начало координат в плоскости Z


Начало координат в плоскости Z

Плоскости Z и Z

Рис. 13.13. Последовательность отображений аэродинамического профиля.

которое усложнение, поскольку для каждого значения о существуют много значений v. Если профиль имеет заостренную заднюю кромку, т = О, то для каждого значения ш существуют два значения у. В более общем случае, когда т не равно нулю, каждому значению ш соответствуют бесконечно много значений v.

Способы правильных с вычислительной точки зрения выборов V рассмотрены Ивесом [Ives, 1982]. Грубо говоря, преобразование проводится так, что в рассматриваемую точку отображается безопасная точка, лежащая, например, в бесконечности вверх по потоку в физической плоскости Z.

Близкий к круговому профиль в плоскости Z легко преобразуется в такой же профиль с центром в начале координат в пло-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [ 33 ] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2018 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка
Besucherzahler
счетчик посещений