Коэффициенты Л/ и В/ в (13.9) выбираются так, что 2N равномерно расположенных на единичной окружности точек в плоскости отображаются в соответствующие точки плоскости Z , Особо эффективный прием, основанный на быстром преобразовании Фурье [Cooley, Tukey, 1965], описан Ивесом [Ives, 1976].

Область вне единичной окружности в плоскости (промежуточная расчетная область) отображается внутрь прямоугольника

(1 /? /?тах, О Р 2я), если ПОЛОЖИТЬ

1 = ге< /? = ехр(1пг), р = </>. (13.10)

Таким образом, последовательность преобразований (13.7) - (13.10) отображает область вне хорошо обтекаемого тела в плоскости (х, у) на внутренность прямоугольника в плоскости (?, Р).

В принципе в плоскости (/?, Р) может быть построена однородная сетка и после проведения обратных преобразований можно получить соответствующую сетку в физической области. Однако, как отмечает Ивес [Ives, 1982], несмотря на то что вышеописанная последовательность преобразований весьма эффективна при установке соответствия между границами физической и расчетной областей, обратные преобразования таковыми не являются. Поэтому в общем случае последовательных отображений Ивес рекомендует построение внутренних точек сетки осуществлять путем решения при помощи быстрой программы

СКОСТИ Z \

ГГ-С. (13.8)

Точка С лежит примерно в центре тяжести профиля, близкого к круговому в плоскости Z\ Последнее преобразование включено для улучшения сходимости преобразования Теодорсена - Гаррика [Theodorsen, Garrick, 1933], которое сводит профиль, близкий к круговому в плоскости Z\ к единичной окружности в плоскости .

Чтобы воспользоваться преобразованием Теодорсена - Гаррика, необходимо определить положение точек, лежащих в плоскости Z на почти круговой поверхности. Вводя полярные координаты Z = r(6)exp(/6), In г обычно выражают как функцию 6 при помощи кубических сплайнов [Ives, 1976]. Аппроксимация кубическими сплайнами рассматривается в работах [Ahlberg et al., 1976; Forsythe et al., 1977].

Преобразование Теодорсена - Гаррика можно записать в виде

. = ехр 5](Л/ + /В/)£ . (13.9)

./=0

решения эллиптических уравнений [Temperton, 1979] системы % + пл = 0 % + Улл = 0 (13.11)

с граничными условиями, определенными на стадии (1).

Описанная процедура последовательных отображений может быть обобщена на случай нескольких изолированных тел, например аэродинамических профилей [Ives, 1976].

13,2,3, Одношаговое конформное отображение

В данном разделе будет описано предложенное Дэвисом [Davis, 1979] весьма эффективное с вычислительной точки зрения применение преобразования Шварца - Кристоффеля, Данный способ может быть распространен на тела с искривленными

плоскость Z

77777777 (On

Разрез

Рис. 13.14. Преобразование Шварца - Кристоффеля.

границами. Обычно преобразование Шварца - Кристоффеля позволяет область, ограниченную в физической плоскости Z простым замкнутым многоугольником, отобразить на верхнюю полуплоскость преобразованной плоскости о. Граница многоугольника при этом совпадает в данной плоскости с вещественной осью.

После введения разреза (рис. 13.14) область между многоугольником и бесконечностью в плоскости Z можно рассматривать как ограниченную. Следовательно, преобразование Шварца - Кристоффеля можно использовать для построения внешних.

сеток. В данном разделе, однако, будет описано применение преобразования Шварца - Кристоффеля для расчета внутренних течений в плоском канале (рис. 13.15).

Плоскость

Рис. 13.15. Преобразование двумерного канала.

Обычно Преобразование Шварца - Кристоффеля записывается в виде [Milne-Thomson, 1968]

--=мП(ш-&,)- (13.12)