dZ dm

Здесь а/ - угол разворота /-го сегмента в плоскости Z; 6/- полюсы в плоскости 0), соответствующие угловым точкам в физической плоскости. Эти величины неизвестны и определяются путем повторного интегрирования уравнения (13.13). Величина М связана с высотой канала и его ориентацией относительно оси X и может быть определена в явном виде из уравнения (13.17). В уравнении (13.13) оставлены лишь углы и полюсы, действительно имеющиеся в канале.

Отображение плоскости о на плоскость определяется соотношением

= -(1/я)1псо + /. (13.14)

Если предположить, что канал распространяется далеко вверх по потоку как прямой канал (что эквивалентно о)->оо), то уравнение (13.13) принимает вид

Ж = (13.15)

Проинтегрировав (13.15) и сделав преобразование (13.14), получим

Z = яM(/~g) + Zo. (13.16)

Здесь Л1 - комплексная константа, связанная обычно с геометрией физической области; а/ - углы поворота при переходе каждой угловой точки (отсчитываются против часовой стрелки); 6/- неизвестные положения точек границы на вещественной оси в преобразованной плоскости; три значения 6/ могут быть выбраны произвольным образом.

Тело в физической области не обязательно должно быть замкнутым. Поэтому, например, область внутри произвольного канала (рис. 13.15) преобразованием (13.12) может быть отображена на верхнюю полуплоскость так, что верхняя точка Zn входной границы отображается в плоскости о в точку, расположенную вниз по потоку.

Вообще говоря, в плоскости о можно построить однородную сетку и использовать обратное преобразование для построения соответствующей сетки в физической области. Однако при рассмотрении течения в канале удобно сделать второе преобразование, переводящее верхнюю полуплоскость плоскости о в прямой канал, параллельный вещественной оси в плоскости (рис. 13.15).

Преобразование Шварца - Кристоффеля для отображения канала в плоскости Z на плоскость о имеет вид

W =S/-i +

{ll-lU\ (13.20)

a новые значения 6/ получаются из (13.14):

бГ = ехр[ (/-?Г)]- (13.21)

Весь процесс (13.18) - (13.21) повторяется до тех пор, пока для всех / величины Z/не станут достаточно близкими kZ/. Обычно для получения точности в пять десятичных знаков достаточно 10-15 итераций. При этом оказывается, что число итераций не зависит от количества сегментов Л. Подробности можно найти в книге Андерсона и др. [Anderson et al., 1982].

Применяя (13.16) к верхней и нижней поверхностям канала, можно получить выражение для М:

Z - Z = Ше = - nMi, (13.17)

Значения Я и 6 определены на рис. 13.15.

В принципе, если положение полюсов 6/ известно, для построения сетки уравнение (13.3) можно проинтегрировать численно. При этом, однако, вблизи точек 6/ можно ожидать некоторых затруднений из-за сингулярности уравнения (13.13) при (о = 6у. В качестве пути интегрирования можно выбрать (о + /е в плоскости (О, что эквивалентно прохождению внутри канала. Лучше, однако, использовать смешанную маршевую схему второго порядка, в которой используется аналитическое интегрирование в каждом полюсе [Davis, 1979]. Эта схема может быть представлена в виде

Соответствующее конечно-разностное представление выражения (13.14) может быть записано в следующем виде:

С0;+1 - cofe= - ЯС0 + 1/2(С+1 - (13.19)

Соотношения (13.18) и (13.19) дают прямую связь между физической плоскостью Z и расчетной плоскостью , справедливую для любого пути интегрирования в расчетной области.

Поскольку положение полюсов 6/ неизвестно, в результате интегрирования уравнения (13.18) получаются значения Zj- - Z/-1, где V - номер итерации. Конечные величины Z/ й т. д. в физической плоскости известны. Поэтому новая оценка для g/ определяется выражением

= М exp J In (со - 6) dp], (13.23)

где b - отрезок вещественной оси в плоскости о, а dp - соответствующее увеличение угла наклона в плоскости Z. Дэвис [Davis, 1979] осуществил численную реализацию преобразования (13.23) и получил соответствующее отображение области вне аэродинамического профиля в физической области в прямоугольник в расчетной плоскости ш.

Хотя конформные отображения не существуют в трехмерном случае, трехмерные геометрии успешно исследовались при помощи последовательности двумерных преобразований при различных значениях третьей координаты [Moretti, 1980].

Повторное интегрирование для определения точных значений bf проводится вдоль расчетных границ (г]=0 и i]max на рис. 13.15), что позволяет установить соответствие между граничными точками в физической и расчетной областях (стадия (1), п. 13.2.1). После этого при известных значениях 6/ интегрирование (13.18) вдоль линий постоянного значения 1 и ц в расчетной области позволяет построить сетку в физической области.

Интересным свойством рассмотренного подхода является то, что потенциальные течения в канале определяются выражением

Ф + 1 = . (13.22)

где - потенциал скорости, -ф -функция тока, а модуль скорости равен единице. Таким образом, постоянные значения ц и I будут линиями тока и линиями постоянного значения потенциала скорости. Следовательно, соответствующие линии сетки в физической области будут соответствовать линиям тока и линиям постоянного потенциала при потенциальном течении в рассматриваемом канале. Для вязкого течения в канале линии сетки все еще будут хорошим приближением линий тока.

В общем виде построение конформных отображений при помощи преобразования Шварца - Кристоффеля и приближенные методы численного интегрирования описаны в работе [Trefethen, 1980].

Традиционно преобразование Шварца - Кристоффеля применялось для областей, ограниченных отрезками прямых с разрывным изменением наклона тела на угол а/ в отдельных точках (рис. 13.14). Вудс [Woods, 1961] обобщил преобразование Шварца - Кристоффеля на тела с искривленными поверхностями, заменив равенство (13.12) на следующее: