13.2,4, Построение ортогональных сеток

Чтобы система координат была ортогональной, компоненты метрического тензора должны удовлетворять условию: gu = О при / ф j. Из этого условия следует, это физическая (х, у) и расчетная (g, ц) области в двумерном случае должны быть связаны соотношениями

ВО внутренних точках, и

на границе. Отношение Лг/Л (12.16). где

= (13.25)

есть отношение сторон сетки

(13.26)

Ортогональные сетки могут быть получены из неортогональных путем построения ортогональных траекторий. При этом

V=Vk

V j=JMAX

Рис. 13.16. Начальная конфигурация для построения ортогональных траекторий.

МОЖНО Определить точки на трех сторонах области (например, ЕА, ABC и CD на рис. 13.16). На четвертой стороне {ED на рис. 13.16) точки определяются ортогональными траекториями.

Если требуется построить ортогональную сетку с точками, определенными на всех сторонах области, можно [Thompson, 1984] построить конформную сетку, а затем осуществить одномерное растяжение вдоль направлений I и ц. Эффективная функция растяжения определяется выражением (13.44) (см. ниже). Кроме того, систему (13.24) можно решать итера-

дх1д\1 (13.28)

Поскольку r] = v, линия, ортогональная линии v = v/z, яв-чяется линией постоянного значения . Следовательно, наклон

ционно, задавая /12 11 =/(g, т)). Такой подход будет описан в п. 13.2.6.

Если ортогональная сетка требуется лишь вблизи некоторой границы (например, ABC на рис. 13.16), возможно построение локальной ортогональной сетки путем введения - помимо условия ортогональности gi2 = 0 - некоторого метрически связанного параметра, например /. Это приводит к гиперболической системе уравнений, в результате решения которой маршевым методом от рассматриваемой границы может быть построена сетка. Такой метод описан Стегером и Соренсоном [Steger, Sorenson, 1980].

В данном разделе более детально будет рассмотрен метод ортогональных траекторий. Сначала необходимо определить семейство кривых, изображенных на рис. 13.16. Положение точек вдоль конкретной кривой (v = Vk) семейства может быть определено простым преобразованием сдвига. Например,

x = {lli)EA{v,) + iiCD{v,),

y = {l-ix) ЕАУ Ы) + СОУ (V,), (13.27)

\l = {\l - fil)/([ljMAX - fil).

Заранее заданные функции EAiv) и т. д. определяют распределение точек на ЕА и CD (рис. 13.16) и сгущение линий сетки вблизи ABC, Если требуется, чтобы линии v = Vk были ортогональны ЕА и СО, то для [х вместо (13.27) можно использовать кубические формулы, эквивалентные (13.49) [Eiseman, 1982а]. Распределение точек на ABC (р,= р,/) задается.

Для определения ортогональной сетки (, т) требуется построить траектории, начинающиеся из точек [1=я/, оканчивающиеся на границе ED и пересекающие все промежуточные координатные линии (v = Vk) под прямым углом. Очевидно, что при этом определяется положение не только внутренних точек, но и точек, лежащих на ED.

Построение ортогональной сетки (, т) завершается тем, что полагается т/г = v/г. При этом линии = (константа) ортогональны линиям ц = Цк, Удобнее уравнение, определяющее траекторию линии = g/, может быть получено следующим образом.

При заданных x = x(\x,v) и у = у(р v) наклон линии v = Vk может быть записан в виде

ЛИНИИ постоянного значения ( = g/), согласно (13.28), может быть записан в виде

дх/д\1 dy/d\i

(13.29)

С другой стороны, учитывая зависимости g = g(jli, v) и г] = v, можно получить

{дут {diiidv) + dyidv

(dx/dii)(d\i/dy)=.+dx/dyj

(13.30)

После приравнивания (13.29) и (13.30) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение, определяющее траекторию линии 1 = Ij в плоскости (р v). Оно имеет вид

дх , ду

1 = 1. \ dv d\i * d\i dv .

Сравнение этого уравнения с (12.12) показывает, что (13.31) может быть записано в общем виде

(13.32)

где gi2 и gi\ - компоненты метрического тензора, связанного с отображением физической плоскости (х, у) на неортогональную плоскость (р, v). Очевидно, правую часть (13.31) можно вычислить, поскольку определена сетка (р, v) (рис. 13.16).

Начальные значения для (13.31) задаются при р = р/ на ABC, Обычно уравнение (13.31) интегрируется численно. При пересечении с каждой линией v = Vk физические координаты {х, у) получаются из уравнений, определяющих сетку (р, v), т. е. из (13.27).

Уравнение (13.32) является характеристическим уравнением {§ 2.2) гиперболического уравнения

а = о. (13.33)

dv gn d\i

Следовательно, метод ортогональных траекторий по существу является методом характеристик. Более подробно метод рассмотрен Эйземаном [Eiseman, 1982].

Как правило, применение строго ортогональных сеток ограничено двумерным случаем, поскольку при этом еще сохраняется достаточный контроль положения точек сетки на границе [Eiseman, 1982]. В трехмерном случае построение полностью ортогональной сетки невозможно. Однако могут быть построены сетки, ортогональные некоторым поверхностям, и трехмерные сетки из множества двумерных ортогональных