Разделы сайта

Читаемое

Обновления May-2018

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 37 ] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

сеток. Распределение точек сетки в направлении третьей переменной в этом случае может быть не слишком гладким [Thompson, 1984].

13.2.5, Сетки, близкие к ортогональным

Строго ортогональные сетки позволяют избавиться от определенных членов в уравнениях движения (п. 12.1.3). Вместе с тем сетки, близкие к ортогональным, строить значительно


Рис. 13.17. Построение приближенно ортогональной сетки.

Проще. Их Применение позволяет избавиться от ошибок, связанных с деформацией сетки.

Ниже описывается метод построения сетки, близкой к ортогональной. Предполагается, что семейство линий, изображенных на рис. 13.16, построено. Как и в п. 13.2.4, процедура начинается с определения точки \i=\Xj на ABC. Данная процедура является схемой предиктор - корректор, позволяющей получить точку на линии v = V2, приблизительно ортогональной линии, на которой лежит точка (р./, vi) (рис. 13.17). Проводится нормаль к линии v = vi до пересечения с линией v = V2. В точке пересечения вычисляется нормаль-dx/dy , и точка пересечения сдвигается до тех пор, пока эта нормаль не пройдет через начальную точку (р./, vi). Конечная точка (р/, V2) на линии V2, ортогонально соответствующая точке (р,/, vi), берется посредине между двумя точками пересечения. Это эквивалентно использованию следующего характеристического направления:

dx dy

vi, n

dx dy

v., n}

(13.34)



l- + -S=( Л), -S- + S = Qa> Л), (13.35)

дх ду~ дх ду

где Р и Q - известные функции, используемые для контроля сгущения внутренних точек сетки.

Использование эллиптических уравнений в частных производных для построения внутренних точек сетки имеет ряд преимуществ. Прежде всего в этом случае сетка изменяется гладко, даже если граница области имеет излом. Если бы для построения внутренних точек сетки использовались гиперболические уравнения в частных производных, все изломы границы проявлялись бы и во внутренних точках.

Эллиптические уравнения, подобные (13.35), при различных ограничениях на Р и Q удовлетворяют принципу максимума, т. е. максимальное и минимальное значения I и ц достигаются на границе. Томпсон [Thompson, 1982] отмечает, что это обычно? гарантирует однозначность отображения. Однако при некото-

После определения всех точек на линии v = V2 процесс повторяется для определения точек приближенно ортогональной сетки на линии v = V3. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута внешняя граница, т. е. ED на рис. 13.16.

Типичная программа расчета пересечения с линией v = V2 оформлена в виде подпрограммы SURCH (см. рис. 13.29). Описанный метод построения сетки был предложен в работе [McNally, 1972].

13,2.6. Решение эллиптических уравнений в частных производных

В данном разделе будут рассмотрены более общие способы, построения координат, не обязательно приводящие к ортогональным или конформным сеткам. Однако эти способы позволяют лучше контролировать сгущение сетки во внутренних точках области.

Как отмечено в начале гл. 13, задача построения внутренних точек сетки может быть поставлена как граничная задача причем постановка в расчетной области (g, т]) предпочтительней. Поскольку нужно решать эллиптические уравнения в частных производных, в качествеграничных условий необходимо задавать либо положение точек, либо наклон координатных линий на границе.

Наиболее общим уравнением в частных производных, используемым для построения сеток, является уравнение Пуассона, записанное в виде системы



рых экстремальных выборах Р и Q возможно локальное самопересечение сетки.

Решение системы (13.35) ищется в расчетной области (g, ц), В этой области (13.35) преобразуется к виду

Здесь a = g22y Р == g i2, У = gn и 8 = g, где gf -определитель метрического тензора (12.12).

Для определения граничных условий, замыкающих систему (13.36), полезно рассмотреть частный пример, приведенный на рис. 13.18. На контуре АВС{АВС) ц = Ц1 и х = хавс(1), у = = УавсЦ) при I Ьу где функциональные зависимости хавс(1) и Уавс(1) известны и определяют распределение точек сетки на ABC. Аналогично на контуре DFIфРЧ) = тг и x = Xdfi{1), У = Уор1 при gi < К I2, тле XDFiil) и уопЦ) определяют распределение точек на DFI. Задача распределения точек сетки по границе облегчается использованием одномерных функций растяжения, описанных в п. 13.3.1.

Следует отметить, что граничные условия не определяются на АГ и CD\ поскольку в физической плоскости соответствующие линии являются внутренними (и совпадают).

Уравнение (13.36а), дискретизованное при помощи центральных разностей, принимает вид

(а:/ 1, k - 2л:д + Xf+i k) - О.бр k+\ - /-1, k+i -

- /+1, ki + fe-i) + y (/, k-i - 2л:д k + fe+i) + + О.ббР (ATy+i, k - /-1, k) + 0.56Q {xj ~ xj k,) = 0, (13.37) где

a = 0.25 [(X/, - xj k,f + (У/, fei - fe,)2], = 0.25 [(xy+i, k - fe) (a:/, k+\ ~ л: fe-i) +

+ (f -.!, fe ~ k) fe+i ~ У/, k-i)l (13.38)

= 0.25 [(jc/i - ,)2 + (у;+ , - ,)2],

б = [(л:/+1, - X/i, fe) (уд - Уд ; ,) -

Уравнение (13.36b) приводится к дискретному виду аналогичным образом. При записи (13.37) и (13.38) предполагалось, что = Ат) = 1. Такой выбор не влияет на сетку в физической области.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 37 ] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2018 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка
Besucherzahler
счетчик посещений