Разделы сайта

Читаемое

Обновления Aug-2018

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 [ 42 ] 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

генерируемая сетка была локально ортогональна поверхности прямоугольника. Более подробно случай N = 4 обсуждается в п. 13.4.1.

Необходимо подчеркнуть, что внутренние поверхности вводятся лишь для контроля распределения внутренних точек и формы координатных линий; данные поверхности не совпадают с построенной сеткой. Введение внутренних поверхностей приводит к появлению нового уровня контроля, являющегося дополнительным по отношению к контролю, получаемому из распределения при помощи функций гавЦ) и гпс(1) точек в направлении I на граничных поверхностях (п. 13.3.1), как на рис. 13.21 и 13.22. Возможность распределения точек в направлении 5, как это делается при помощи (13.47), также имеется в методе многих поверхностей.

Эйземан [Eiseman, 1982а, Ь] расширил метод многих поверхностей, сделав более эффективным его применение в трехмерном случае. В трехмерном случае лучший контроль распределения внутренних точек может быть достигнут, если интерполяционные функции \)/ в (13.57) рассматриваются не глобально, а локально. Эйземан [Eiseman, 1982а] приводит примеры, в которых вдали от Ti = rii преобразование внутренних точек может быть сделано локально декартовым (в физической области), вместе с тем сохраняется свойство локальной ортогональности сетки поверхностям АВ и CD.

В трехмерном случае граничные поверхности, например Zi и 1ыу будут зависеть от двух параметров г и t и необязательно будут плоскостями. Поверхность Zi, например, может совпадать с поверхностью автомобиля. Это приводит к тому, что система координат должна по крайней мере принадлежать С, т. е. должны существовать непрерывные производные вплоть до второго порядка. Следовательно, интерполяционные функции г)/ в (13.57) должны быть функциями из СК Примеры использования таких локальных функций в методе многих поверхностей можно найти в работе [Eiseman, 1982b].

13.3.4. Трансфинитная интерполяция

Как в методе двух, так и в методе многих поверхностей проводится интерполяция лишь по одному направлению (5 или т]). При этом предполагается, что по другому направлению (г или I) имеется непрерывное отображение граничных поверхностей

Ц=Ц1 и Т1 = г]2.

При помощи трансфинитной интерполяции [Gordon, Hall, 1973] можно, однако, определить непрерывные отображения Zab(I, щ) на АВ, Zncily Ц2) на DC и, кроме того, Zad(i, ц) на



AD и гвс{Ь.ц) на ВС (рис. 13.20). Внутри области вводится интерполяция как по так и по г], или, что эквивалентно, по г и по 5.

Как в методе двух, так и в методе многих поверхностей в качестве промежуточного шага с целью получения преобразования 2(1уЦ) для построения сетки в физической области вводятся параметрические координаты (г, 5). Предполагается, что г и 5 - нормализованные координаты, т. е.

0<г<1 при li<Kl2, 0<5<1 при Л1<Л<Л2. (13.60)

Вводятся следующие интерполяционные функции:

/(0 = 6/г, / = 0, 1; а)Л5) = б, й = 0, 1. (13.61)

Здесь

6jr = 1, если / = г; б5 = 1, если k = s; 6ir = 0, если ]Фп 65 = 0, если кф8.

Таким образом, о=1, i=0 на AD; о = 0, = 1 на ВС; Фо=и Ф1=0 на АВ; я?о = 0, = 1 на CD.

Интерполяция в направлении г определяется выражением

ZЛ s) = фo{r)ZJ,o{0, з) + фАг)2вс{и 5), (13.62)

где 2аоу Zbc - непрерывные отображения между двумя плоскостями (1,ц) и {х,у) на двух границах = i и = 2*, Zr(r,s) - непрерывное отображение, полученное в результате интерполяции между ZлD и Zbc для промежуточных значений г. Аналогично

zл 5) = яpo(s)Zлв( o) + b{s)Zco{r. i). (13.63)

Zr и Zs -отображения, эквивалентные использованным ранее в методе двух поверхностей и в простейшем случае (Л = 2) метода многих поверхностей.

Для получения двумерной интерполяции вводится произведение интерполяций

Zrsir, s) = Z,.Z,. (13.64)

Произведение интерполяций согласуется с граничными функциями Zab и др. только в четырех углах (0,0), (О, 1), (1,0) и (1, 1). Подобный тип интерполяции использовался в двумерном варианте метода конечных элементов (п. 5.3.3).

Чтобы получить функцию отображения, справедливую на всех границах двумерной области, необходимо ввести в рассмотрение интерполяционные булевы суммы

Z (г, S) = Zr (г. S) + Z, (г, S) - Zrs {г, S). (13.65)

Данная конструкция является центральной в трансфинитной интерполяции [Gordon, Hall, 1973].



На практике формула (13.65) осуществляется в два этапа. На первом этапе

ZЛ s)=i:y(r)z,(/, 5), (13.66)

/ = о

где b означает соответствующую границу, AD или ВС. На втором этапе

Z(r, s) = Zr{r, s)+ts)[Zb{r, k)-Zr{r, k)]. (13.67)

fe = 0

Интерполяционные функции / и -ф/г могут быть выбраны аналогично тому, как это было сделано в методах двух или многих поверхностей. Выбор

0(0= l- ФЛГ)=Г, яРо(5)=1~5, l)i(r)=5 (13.68)

дает билинейную трансфинитную интерполяцию, которая подвержена тем же недостаткам, что и (13.48). Хотя преобразования

(13.67), (13.68) могут осуществить сгущение точек через граничные функции Zab и т. д., они не обеспечивают ортогональность сетки вблизи граничных поверхностей.

Развитие метода трансфинитной интерполяции можно осуществить путем, аналогичным развитию методов двух и многих по-Берхностей. Для лучшего контроля внутренних точек сетки

[Gordon, Thiel, 1982] рассмотрена возможность введения промежуточных поверхностей. Для получения гладко изменяющихся близких к ортогональным сеток Эриксон [Eriksson, 1982] ввел параметрические производные, например (3Z/(95 Он предпочел вместо формального выполнения условий ортогональности, как это сделано в (13.49), определить производные до порядка п=3. Эриксон утверждает, что это позволяет, особенно в трехмерном случае, получить лучший контроль распределения точек сетки.

Метод трансфинитной интерполяции естественным образом обобщается на случай трех переменных. К алгоритму (13.66),

(13.67) в этом случае добавляется третий этап

Z(r, 5, 0 = Zo(r, s, 0 + Zco,(0[ZЛ s, i)-ZAr, s, /)], (13.69)

i = 0

где Z2(r,sJ) эквивалентно Z{r,s) в (13.67), a со/(0 -интерполяционные функции, свойства которых эквивалентны ф}{г) и ykis). Рицци и Эриксон [Rizzi, Eriksson, 1981] описывают применение трехмерной трансфинитной интерполяции при отображении комбинации крыло - фюзеляж; они получили данные лишь на граничных поверхностях. Для лучшего контроля внутренних точек ими было определено отображение Z и направленные от



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 [ 42 ] 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2018 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка
Besucherzahler
счетчик посещений