генерируемая сетка была локально ортогональна поверхности прямоугольника. Более подробно случай N = 4 обсуждается в п. 13.4.1.

Необходимо подчеркнуть, что внутренние поверхности вводятся лишь для контроля распределения внутренних точек и формы координатных линий; данные поверхности не совпадают с построенной сеткой. Введение внутренних поверхностей приводит к появлению нового уровня контроля, являющегося дополнительным по отношению к контролю, получаемому из распределения при помощи функций гавЦ) и гпс(1) точек в направлении I на граничных поверхностях (п. 13.3.1), как на рис. 13.21 и 13.22. Возможность распределения точек в направлении 5, как это делается при помощи (13.47), также имеется в методе многих поверхностей.

Эйземан [Eiseman, 1982а, Ь] расширил метод многих поверхностей, сделав более эффективным его применение в трехмерном случае. В трехмерном случае лучший контроль распределения внутренних точек может быть достигнут, если интерполяционные функции \)/ в (13.57) рассматриваются не глобально, а локально. Эйземан [Eiseman, 1982а] приводит примеры, в которых вдали от Ti = rii преобразование внутренних точек может быть сделано локально декартовым (в физической области), вместе с тем сохраняется свойство локальной ортогональности сетки поверхностям АВ и CD.

В трехмерном случае граничные поверхности, например Zi и 1ыу будут зависеть от двух параметров г и t и необязательно будут плоскостями. Поверхность Zi, например, может совпадать с поверхностью автомобиля. Это приводит к тому, что система координат должна по крайней мере принадлежать С, т. е. должны существовать непрерывные производные вплоть до второго порядка. Следовательно, интерполяционные функции г)/ в (13.57) должны быть функциями из СК Примеры использования таких локальных функций в методе многих поверхностей можно найти в работе [Eiseman, 1982b].

13.3.4. Трансфинитная интерполяция

Как в методе двух, так и в методе многих поверхностей проводится интерполяция лишь по одному направлению (5 или т]). При этом предполагается, что по другому направлению (г или I) имеется непрерывное отображение граничных поверхностей

Ц=Ц1 и Т1 = г]2.

При помощи трансфинитной интерполяции [Gordon, Hall, 1973] можно, однако, определить непрерывные отображения Zab(I, щ) на АВ, Zncily Ц2) на DC и, кроме того, Zad(i, ц) на

AD и гвс{Ь.ц) на ВС (рис. 13.20). Внутри области вводится интерполяция как по так и по г], или, что эквивалентно, по г и по 5.

Как в методе двух, так и в методе многих поверхностей в качестве промежуточного шага с целью получения преобразования 2(1уЦ) для построения сетки в физической области вводятся параметрические координаты (г, 5). Предполагается, что г и 5 - нормализованные координаты, т. е.

0<г<1 при li<Kl2, 0<5<1 при Л1<Л<Л2. (13.60)

Вводятся следующие интерполяционные функции:

/(0 = 6/г, / = 0, 1; а)Л5) = б, й = 0, 1. (13.61)

Здесь

6jr = 1, если / = г; б5 = 1, если k = s; 6ir = 0, если ]Фп 65 = 0, если кф8.

Таким образом, о=1, i=0 на AD; о = 0, = 1 на ВС; Фо=и Ф1=0 на АВ; я?о = 0, = 1 на CD.

Интерполяция в направлении г определяется выражением

ZЛ s) = фo{r)ZJ,o{0, з) + фАг)2вс{и 5), (13.62)

где 2аоу Zbc - непрерывные отображения между двумя плоскостями (1,ц) и {х,у) на двух границах = i и = 2*, Zr(r,s) - непрерывное отображение, полученное в результате интерполяции между ZлD и Zbc для промежуточных значений г. Аналогично

zл 5) = яpo(s)Zлв( o) + b{s)Zco{r. i). (13.63)

Zr и Zs -отображения, эквивалентные использованным ранее в методе двух поверхностей и в простейшем случае (Л = 2) метода многих поверхностей.

Для получения двумерной интерполяции вводится произведение интерполяций

Zrsir, s) = Z,.Z,. (13.64)

Произведение интерполяций согласуется с граничными функциями Zab и др. только в четырех углах (0,0), (О, 1), (1,0) и (1, 1). Подобный тип интерполяции использовался в двумерном варианте метода конечных элементов (п. 5.3.3).

Чтобы получить функцию отображения, справедливую на всех границах двумерной области, необходимо ввести в рассмотрение интерполяционные булевы суммы

Z (г, S) = Zr (г. S) + Z, (г, S) - Zrs {г, S). (13.65)

Данная конструкция является центральной в трансфинитной интерполяции [Gordon, Hall, 1973].

На практике формула (13.65) осуществляется в два этапа. На первом этапе

ZЛ s)=i:y(r)z,(/, 5), (13.66)

/ = о

где b означает соответствующую границу, AD или ВС. На втором этапе

Z(r, s) = Zr{r, s)+ts)[Zb{r, k)-Zr{r, k)]. (13.67)

fe = 0

Интерполяционные функции / и -ф/г могут быть выбраны аналогично тому, как это было сделано в методах двух или многих поверхностей. Выбор

0(0= l- ФЛГ)=Г, яРо(5)=1~5, l)i(r)=5 (13.68)

дает билинейную трансфинитную интерполяцию, которая подвержена тем же недостаткам, что и (13.48). Хотя преобразования

(13.67), (13.68) могут осуществить сгущение точек через граничные функции Zab и т. д., они не обеспечивают ортогональность сетки вблизи граничных поверхностей.

Развитие метода трансфинитной интерполяции можно осуществить путем, аналогичным развитию методов двух и многих по-Берхностей. Для лучшего контроля внутренних точек сетки

[Gordon, Thiel, 1982] рассмотрена возможность введения промежуточных поверхностей. Для получения гладко изменяющихся близких к ортогональным сеток Эриксон [Eriksson, 1982] ввел параметрические производные, например (3Z/(95 Он предпочел вместо формального выполнения условий ортогональности, как это сделано в (13.49), определить производные до порядка п=3. Эриксон утверждает, что это позволяет, особенно в трехмерном случае, получить лучший контроль распределения точек сетки.

Метод трансфинитной интерполяции естественным образом обобщается на случай трех переменных. К алгоритму (13.66),

(13.67) в этом случае добавляется третий этап

Z(r, 5, 0 = Zo(r, s, 0 + Zco,(0[ZЛ s, i)-ZAr, s, /)], (13.69)

i = 0

где Z2(r,sJ) эквивалентно Z{r,s) в (13.67), a со/(0 -интерполяционные функции, свойства которых эквивалентны ф}{г) и ykis). Рицци и Эриксон [Rizzi, Eriksson, 1981] описывают применение трехмерной трансфинитной интерполяции при отображении комбинации крыло - фюзеляж; они получили данные лишь на граничных поверхностях. Для лучшего контроля внутренних точек ими было определено отображение Z и направленные от