Разделы сайта

Читаемое

Обновления Aug-2018

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 [ 5 ] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

, dw . dw г dw . (\\ dp

dt dx dy dz \{i

f dw , dw , dw\ ,

Безразмерные переменные вводятся следующим образом: x- = xlL, y=ylL, z = zlL, r = UJlL, u = u/U , v- = v/U , w = wlU, p = {p-pJ/pUl-

Уравнение (11.41) принимает вид

В ГЛ. 14-18 будут рассмотрены конечно-разностные формы различных уравнений, описывающих движение газа (например уравнение (11.21)). Однако, поскольку дискретизация проводится на сетках конечного размера, возможно также и конечно-разностное представление исходных законов сохранения (например, (11.20)). Подобные примеры приведены в § 5.2.

Связь уравнений, описывающих движение жидкости, с соответствующими молекулярными процессами подробно обсуждается Бэтчелором [Batchelor, 1967]. Уравнения в различных системах координат (без вывода) приведены в работе [Hughes, Gaylord, 1964].

1L2.5, Динамическое подобие

Чтобы наиболее оптимальным образом (с точки зрения проведения минимального количества расчетов или экспериментальных наблюдений) получить картину течений у тел подобной конфигурации, желательно сгруппировать все параметры (такие, как длина тела, скорость набегающего потока и т. п.) в ряд безразмерных параметров. Два потока динамически подобны, если безразмерные числа, определяющие течения, равны. Размерные же параметры, входящие в безразмерные комбинации, могут при этом быть различны. Наиболее простой путь определения безразмерных величин состоит в обезразмеривании уравнений и граничных условий, определяющих течение жидкости.

Например, при исследовании волн, создаваемых кораблем длиной L, движущимся со скоростью Uocy для начала достаточно рассмотреть уравнение, описывающее г-компоненту импульса в вязком несжимаемом потоке

dw , dw . dw , dw



Re = i и ¥r = j. (11.43)

Первый из них называется числом Рейнольдса, второй - числом Фруда. Два несжимаемых вязких течения со свободной поверхностью динамически подобны, несмотря на различные величины f/эо, L и V, если числа Re и Fr для этих двух течений равны.

Другие безразмерные параметры (числа Маха и Прандтля, отношение удельных теплоемкостей) могут быть получены из обезразмеривания уравнения энергии. Для воздуха, который может считаться идеальным газом, уравнение энергии (11.38) можно представить в виде

(11.44)

Помимо указанных выше вводятся следующие безразмерные переменные:

Г = 7/Г. p==plpJJl,

После подстановки их в (11.44) и некоторых преобразований можно получить

p--(v-.)ML(-r + ) + [i.(r-l) +

, +(*-IF)+(*-f)]/(p-R* < >

Из уравнения (11.45) следует, что течение вязкого сжимаемого идеального газа определяется по крайней мере четырьмя безразмерными числами:

Число Рейнольдса, Re = [/oo/v,

Число Прандтля, Рт = 1хСр/к, (11.46)

Число Маха, N[ = UJa = UJ{yRTf\

Отношение удельных теплоемкостей, y - Cpjcj,

Если учесть зависимость вязкости и теплопроводности от температуры, то появится пятое безразмерное число. Однако четырех безразмерных параметров (11.46) и числа Фруда (11.43) достаточно для обеспечения динамического подобия широкого класса течений жидкости. Три из пяти безразмерных параметров, приведенных в выражениях (11.43) и (11.46), а именно Re,

В уравнении (11.42) имеются два безразмерных параметра:



Моо И Fr, связаны с движением жидкости. Остальные два, Рг и у, определяются свойствами жидкости (см. табл. 11.1 и табл. 11.2).

Число Рейнольдса характеризует отношение сил инерции к силам вязкости. В различных задачах это число может варьироваться практически от нуля (когда силы инерции пренебрежимо малы) до 10° и выше (силы вязкости малы везде, кроме областей, примыкающих к телу). Некоторые типичные значения приведены в табл. 11.3.

Таблица 11.3. Типичные значения чисел Рейнольдса

Вид движения

Сперматозоид (L = 0.07 мм), движущийся с максимальной скоростью

Водяная капля (D = 0.07 мм), падающая в воздухе

Ветер (10 м/с), обдувающий телеграфные провода

Мяч для крикета или бейсбола, летящий со скоростью 35 м/с

Акула (L - 1.5 м), плывущая с максимальной скоростью

Большой реактивный транспортный самолет (747) на крейсерской высоте

Океанский лайнер (Q.E.II, L - 324 м) при скорости f/ = 15 м/с Планетарный пограничный слой (L = 1000 км, f/ = 20 м/с)

6X10

6.4X10 1Х№ 2X10 8X10S 7X10

4.5X10 18X102

Число Маха равно отношению скорости газа к скорости звука в нем (М = и/а) и является мерой сжимаемости или изменения плотности, связанного с движением. При числах Маха <0.14 изменение плотности не превышает 1 7о- Для боевых самолетов типичное число Маха порядка трех, для спускаемых космических аппаратов эта величина может быть гораздо больше. Поскольку вода практически несжимаема (в диапазоне температур и давлений, в которых ее движение представляет интерес), то задачи, характеризуемые большими числами Маха, обычно связаны с движением газов, например воздуха.

Для течений со свободной поверхностью важным параметром является число Фруда. Подобные течения могут возникать в гаванях или морских рукавах в результате действия приливов, а также при движении кораблей. Число Фруда характеризует отношение сил инерции к гравитационным силам. Если число Фруда мало, то под действием силы тяжести поверхность воды остается плоской и сопротивлением движению, связанным с образованием поверхностных волн, можно пренебречь.

Число Прандтля является мерой отношения диссипации импульса к диссипации тепла, Рг = \iCp/k = v/a. Для воздуха при



1 2 3 4 [ 5 ] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2018 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка
Besucherzahler
счетчик посещений