, dw . dw г dw . (\\ dp

dt dx dy dz \{i

f dw , dw , dw\ ,

Безразмерные переменные вводятся следующим образом: x- = xlL, y=ylL, z = zlL, r = UJlL, u = u/U , v- = v/U , w = wlU, p = {p-pJ/pUl-

Уравнение (11.41) принимает вид

В ГЛ. 14-18 будут рассмотрены конечно-разностные формы различных уравнений, описывающих движение газа (например уравнение (11.21)). Однако, поскольку дискретизация проводится на сетках конечного размера, возможно также и конечно-разностное представление исходных законов сохранения (например, (11.20)). Подобные примеры приведены в § 5.2.

Связь уравнений, описывающих движение жидкости, с соответствующими молекулярными процессами подробно обсуждается Бэтчелором [Batchelor, 1967]. Уравнения в различных системах координат (без вывода) приведены в работе [Hughes, Gaylord, 1964].

1L2.5, Динамическое подобие

Чтобы наиболее оптимальным образом (с точки зрения проведения минимального количества расчетов или экспериментальных наблюдений) получить картину течений у тел подобной конфигурации, желательно сгруппировать все параметры (такие, как длина тела, скорость набегающего потока и т. п.) в ряд безразмерных параметров. Два потока динамически подобны, если безразмерные числа, определяющие течения, равны. Размерные же параметры, входящие в безразмерные комбинации, могут при этом быть различны. Наиболее простой путь определения безразмерных величин состоит в обезразмеривании уравнений и граничных условий, определяющих течение жидкости.

Например, при исследовании волн, создаваемых кораблем длиной L, движущимся со скоростью Uocy для начала достаточно рассмотреть уравнение, описывающее г-компоненту импульса в вязком несжимаемом потоке

dw , dw . dw , dw

Re = i и ¥r = j. (11.43)

Первый из них называется числом Рейнольдса, второй - числом Фруда. Два несжимаемых вязких течения со свободной поверхностью динамически подобны, несмотря на различные величины f/эо, L и V, если числа Re и Fr для этих двух течений равны.

Другие безразмерные параметры (числа Маха и Прандтля, отношение удельных теплоемкостей) могут быть получены из обезразмеривания уравнения энергии. Для воздуха, который может считаться идеальным газом, уравнение энергии (11.38) можно представить в виде

(11.44)

Помимо указанных выше вводятся следующие безразмерные переменные:

Г = 7/Г. p==plpJJl,

После подстановки их в (11.44) и некоторых преобразований можно получить

p--(v-.)ML(-r + ) + [i.(r-l) +

, +(*-IF)+(*-f)]/(p-R* < >

Из уравнения (11.45) следует, что течение вязкого сжимаемого идеального газа определяется по крайней мере четырьмя безразмерными числами:

Число Рейнольдса, Re = [/oo/v,

Число Прандтля, Рт = 1хСр/к, (11.46)

Число Маха, N[ = UJa = UJ{yRTf\

Отношение удельных теплоемкостей, y - Cpjcj,

Если учесть зависимость вязкости и теплопроводности от температуры, то появится пятое безразмерное число. Однако четырех безразмерных параметров (11.46) и числа Фруда (11.43) достаточно для обеспечения динамического подобия широкого класса течений жидкости. Три из пяти безразмерных параметров, приведенных в выражениях (11.43) и (11.46), а именно Re,

В уравнении (11.42) имеются два безразмерных параметра:

Моо И Fr, связаны с движением жидкости. Остальные два, Рг и у, определяются свойствами жидкости (см. табл. 11.1 и табл. 11.2).

Число Рейнольдса характеризует отношение сил инерции к силам вязкости. В различных задачах это число может варьироваться практически от нуля (когда силы инерции пренебрежимо малы) до 10° и выше (силы вязкости малы везде, кроме областей, примыкающих к телу). Некоторые типичные значения приведены в табл. 11.3.

Таблица 11.3. Типичные значения чисел Рейнольдса

Вид движения

Сперматозоид (L = 0.07 мм), движущийся с максимальной скоростью

Водяная капля (D = 0.07 мм), падающая в воздухе

Ветер (10 м/с), обдувающий телеграфные провода

Мяч для крикета или бейсбола, летящий со скоростью 35 м/с

Акула (L - 1.5 м), плывущая с максимальной скоростью

Большой реактивный транспортный самолет (747) на крейсерской высоте

Океанский лайнер (Q.E.II, L - 324 м) при скорости f/ = 15 м/с Планетарный пограничный слой (L = 1000 км, f/ = 20 м/с)

6X10

6.4X10 1Х№ 2X10 8X10S 7X10

4.5X10 18X102

Число Маха равно отношению скорости газа к скорости звука в нем (М = и/а) и является мерой сжимаемости или изменения плотности, связанного с движением. При числах Маха <0.14 изменение плотности не превышает 1 7о- Для боевых самолетов типичное число Маха порядка трех, для спускаемых космических аппаратов эта величина может быть гораздо больше. Поскольку вода практически несжимаема (в диапазоне температур и давлений, в которых ее движение представляет интерес), то задачи, характеризуемые большими числами Маха, обычно связаны с движением газов, например воздуха.

Для течений со свободной поверхностью важным параметром является число Фруда. Подобные течения могут возникать в гаванях или морских рукавах в результате действия приливов, а также при движении кораблей. Число Фруда характеризует отношение сил инерции к гравитационным силам. Если число Фруда мало, то под действием силы тяжести поверхность воды остается плоской и сопротивлением движению, связанным с образованием поверхностных волн, можно пренебречь.

Число Прандтля является мерой отношения диссипации импульса к диссипации тепла, Рг = \iCp/k = v/a. Для воздуха при