Если система (14.6) уже решена прямым методом для однородного набегающего потока, для получения решения (14.22) достаточно умножить факторизованную форму А на правую часть (14.22). Это - сравнительно экономная процедура, требующая O(N) операций.

Чтобы обеспечить выполнение условия Кутты, из уравнения

Х {и cosщ ~ у; . sin а) (а. + та) -f cos =

= - Е (V / - v . sin а) (а. + raf) - cos(14.23)

находится значение т. Умножение на эту величину решения системы (14.22), связанного с чисто циркуляционным течением, приводит к равенству касательных составляющих скорости в контрольных точках k = l и k = m, расположенных по часовой стрелке непосредственно перед задней кромкой и за ней.

Если использовать обозначения, применяемые в программе PANEL, то уравнение (14.23) принимает вид

- Е (FT; + FT о, + (cos + cos а) --F(sin a + sin aj-

т = -

(14.24)

E(FT / + FT .)a

Чтобы получить более точное распределение давления, в особенности для профилей (или лопаток турбины), создающих подъемную силу, желательно учесть влияние толщины пограничного слоя. Это делается следующим образом. По заданному поверхностному распределению давления, полученному из решения задачи о профиле с подъемной силой (рис. 14.13(c)), находится решение задачи о течении в пограничном слое (§ 15.1). По формуле (11.67) определяется толщина вытеснения 6*(x). Эта величина добавляется к исходной форме (рис. 14.14), и для увеличенной фигуры находится новое распределение давления. Весь процесс повторяется, возможно, четыре или пять раз, пока не будет получена сходимость. Другие способы выполнения условия Кутты, учитывающие толщину вытеснения, рассмотрены Хессом IHess, 1975].

14.1.5, Панельные методы высокого порядка и обобщение на случай трех пространственных переменных

Точность панельного метода зависит от числа панелей Л, представляющих рассматриваемую форму. Для достижения необходимой точности расчета внутренних течений (например, в

воздухозаборниках двигателей) или трехмерных течений около самолетов или автомобилей использование источников постоянной на плоской панели плотности приводит к необходимости введения чрезвычайно большого числа панелей, вследствие чего сильно увеличивается время счета.

В метод, описанный в п. 14.1.1, может быть введено использование как искривленных панелей, так и источников с линейно

данный метод, -экспериментальные

Рис. 14.15. Распределение давления по крылу с разрезами ([Hess, 1975]; печатается с разрешения North-Holland); Ch -хорда крыла с закрытыми

разрезами.

ИЛИ квадратично и т. д. меняющейся по панели плотностью. Для введения линейно изменяющейся вдоль панели плотности источников при расчете двумерных течений необходимо две степени свободы на каждую панель. Это потребует некоторых дополнительных алгебраических действий, однако время, затрачиваемое на каждую степень свободы при решении (14.6), будет лишь незначительно превышать время, требуемое для решения с плоскими панелями постояной интенсивности. Следовательно, для внутренних течений и тел большой кривизны более точное решение за то же время может быть получено за счет использования панелей высокого порядка [Hess, 1975].

Обобщение панельного метода на трехмерные течения осуществляется непосредственно. В случае тела без подъемной силы

уравнение (14.2) заменяется уравнением

Ф (х,. Z,) = их, + а; J L ds (14.25)

где /-Я панель теперь является площадкой, а не отрезком. Соответствующим образом изменяется и уравнение (14.4). Основные трудности в трехмерном случае связаны с определением геометрии панелей и решением системы (14.6) при больших значениях Л. Обычно при N > 1000 решение проводится итерационными методами [Hess, 1975].

На рис. 14.15 представлен типичный пример, характеризующий точность, которую можно достичь панельным методом при рассмотрении сложных конфигураций. Обзоры метода с описанием существенных частных деталей можно найти в работах [Hess, Smith, 1976; Hess, 1975; Kraus, 1978].

14,1,6. Панельный метод для невязких сжимаемых течений

В данной категории течений целесообразно выделить те течения, для которых справедливо уравнение (11.109), т. е.

где - возмущение потенциала скорости, например Ф=иооХ+ф.

Дозвуковые и сверхзвуковые течения около тонких тел достаточно хорошо описываются уравнением (14.26), граничными условиями для которого являются обращение в нуль нормальной составляющей скорости на поверхности тела и обращение ф в нуль при удалении от тела. Для сверхзвуковых течений возникают дополнительные органичения, заключающиеся в требовании слабости ударных волн, поскольку уравнение (14.26) выведено в предположении изэнтропийности потока, а при переходе через скачок энтропия не сохраняется.

Для дозвуковых течений можно построить эквивалентное несжимаемое течение посредством преобразования Прандтля- Глауэрта [Liepman, Roshko, 1957]. Независимые переменные эквивалентного течения равны

Xi = x, У1=у\-Ж1, г,=гл/Г, (14.27)

а зависимая переменная Ф = ф(1--М1>). Для описания такого эквивалентного течения непосредственно применим панельный метод (п. 14.1.1).

Для сверхзвуковых течений преобразование Прандтля- Глауэрта не применяется. Вместо этого панельный метод