Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 [ 56 ] 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

схема может быть проиллюстрирована на невязком уравнении Бюргерса (10.2), записанном в консервативном виде

-Г + 1Г = 0. (14.28)

где f = 0.52. На первой стадии (предиктор) вычисляется промежуточное значение и*:

(14.29)

На стадии корректор

Г = 0.5(ич + и])- [F]-f,). (14.30)

в этой схеме на каждой стадии используются односторонние разностные формулы, но вклады в ошибку аппроксимации сокращаются и в результате получается схема второго порядка точности по времени и пространству. При перестановке направления разностей F в (14.29) и (14.30) получается эквивалентная схема.

Концептуально схема Мак-Кормака сходна с двухшаговой схемой Лакса - Вендроффа (10.11), (10.12). Фактически для линейных задач, например (9.2), схема Мак-Кормака сводится к одношаговой схеме Лакса - Вендроффа.

Чтобы получить устойчивые решения по формулам (14.29) и (14,30) для частного выбора = 0.5, шаг по времени должен быть ограничен условием Ах/и, т. е. А ограничено условием КФЛ (п. 9.1.2). Если F{iu) в (14.28) имеет более общий вид, ограничение на шаг по времени для схем Мак-Кормака и Лакса - Вендроффа принимает вид

M()-j<l, (14.31)

где А = dF/du. Для векторного уравнения, эквивалентного (14.28), например (10.40), матрица А имеет элементы dFj/dui, Соответствующее условие устойчивости имеет вид

<1, Aj=1, 2, ...,/г, (14.32)

где - собственные числа матрицы А.

Схемы Мак-Кормака и двухшаговая схема Лакса - Вендроффа могут рассматриваться как члены семейства Sp, введенного в работе [Lerat, Peyret, 1975]. Параметры аир определяют, где на дискретной сетке (л:, t) эффективно определяется Uf (рис. 14.16). Схема Мак-Кормака соответствует а = 0 и Р = 0 или 1. Семейство 5з описано в работе [Peyret, Taylor,



1983]. Все схемы семейства 5р консервативны, что необходимо для правильного расчета интенсивности и скорости распространения скачков методом сквозного счета.

Необходимость записи уравнений в консервативном виде и использования консервативных разностных представлений мо-

п+1-

рДх К- - РЛ1 j-s-

j-1

j-1 j jP j-i j+z

Рис. 14.16. Эффективное положение точек семейства 5р.

жет быть показана на примере невязкого уравнения Бюргерса (14.28). Для начальных условий

и = а при / = 0и-oo<jcO; u = b при / = 0 и 0<jc<+oo

точное решение имеет вид - - <

и = а при X Upt; u = b при х > Upt,

где Up - скорость распространения, которую следует определить. Если L достаточно велико, так что изменение и попадает внутрь этого отрезка, то из (14.28) следует

\udx = [0.52] = 0.5 (а2 - 62). (14.33)

Но, с другой стороны,

5 udx = U[u]t = 0.5U{ab),

И поэтому

10.5иЦ [и]

= М( = 0.5(а + 6).

(14.34)

где [ ] означает изменение величины при переходе через разрыв. Если аппроксимировать (14.28) по схеме Мак-Кормака



(14.29), (14.30) и исключить промежуточное решение, то

- щ, {Fj - FOr + 0.25 [(F/, - Fif - {F, - F.fT = 0.

(14.35)

Если вычислить (Э/(Э/ udx по правилу средней точки, то

\udx = [0.5 Г) + ( 2 -+ ... + + Kt\-t ,) + 0.5(u--~u-)].

Сделав подстановку из (14.35) и произведя внутренние сокращения, можно получить

-- \udx = 0.25 [- (f о + 2f 1 + F2) + (/Tv-i + 2F + f .+0] +

+ 0 (Ax) = 0.5 (a2 - 62) + О (Ajc),

T. e. сохраняется (14.33). Результат точен, если Fq = F\ = F2 и Pn-x = Fm = Fni.

14.2.3. SHOCK: программа расчета движущихся ударных волн

В настоящем разделе будет рассмотрено применение схемы Мак-Кормака и двухшаговой схемы Лакса - Вендроффа для расчета распространения ударной волны в нестационарном одномерном потоке. Будет продемонстрировано применение искусственной вязкости для получения гладкого профиля ударной волны.

Движение ударной волны в одномерном невязком потоке описывается уравнениями

д9 , д(9и) dt дх

d(9u) dt

+ i{9u + p) = 0,

(14.36) (14.37)

P (в + 4 и)] + [p (e + u)+ p]} = 0. (14.38)

Данные уравнения представляют в консервативной форме уравнения неразрывности, л:-компоненты импульса и энергии; они



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 [ 56 ] 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка