Разделы сайта
Читаемое
Обновления Mar-2024
|
Промышленность Ижоры --> Динамика жидкости: уравнения схема может быть проиллюстрирована на невязком уравнении Бюргерса (10.2), записанном в консервативном виде -Г + 1Г = 0. (14.28) где f = 0.52. На первой стадии (предиктор) вычисляется промежуточное значение и*: (14.29) На стадии корректор Г = 0.5(ич + и])- [F]-f,). (14.30) в этой схеме на каждой стадии используются односторонние разностные формулы, но вклады в ошибку аппроксимации сокращаются и в результате получается схема второго порядка точности по времени и пространству. При перестановке направления разностей F в (14.29) и (14.30) получается эквивалентная схема. Концептуально схема Мак-Кормака сходна с двухшаговой схемой Лакса - Вендроффа (10.11), (10.12). Фактически для линейных задач, например (9.2), схема Мак-Кормака сводится к одношаговой схеме Лакса - Вендроффа. Чтобы получить устойчивые решения по формулам (14.29) и (14,30) для частного выбора = 0.5, шаг по времени должен быть ограничен условием Ах/и, т. е. А ограничено условием КФЛ (п. 9.1.2). Если F{iu) в (14.28) имеет более общий вид, ограничение на шаг по времени для схем Мак-Кормака и Лакса - Вендроффа принимает вид M()-j<l, (14.31) где А = dF/du. Для векторного уравнения, эквивалентного (14.28), например (10.40), матрица А имеет элементы dFj/dui, Соответствующее условие устойчивости имеет вид <1, Aj=1, 2, ...,/г, (14.32) где - собственные числа матрицы А. Схемы Мак-Кормака и двухшаговая схема Лакса - Вендроффа могут рассматриваться как члены семейства Sp, введенного в работе [Lerat, Peyret, 1975]. Параметры аир определяют, где на дискретной сетке (л:, t) эффективно определяется Uf (рис. 14.16). Схема Мак-Кормака соответствует а = 0 и Р = 0 или 1. Семейство 5з описано в работе [Peyret, Taylor, 1983]. Все схемы семейства 5р консервативны, что необходимо для правильного расчета интенсивности и скорости распространения скачков методом сквозного счета. Необходимость записи уравнений в консервативном виде и использования консервативных разностных представлений мо- п+1- рДх К- - РЛ1 j-s- j-1 j-1 j jP j-i j+z Рис. 14.16. Эффективное положение точек семейства 5р. жет быть показана на примере невязкого уравнения Бюргерса (14.28). Для начальных условий и = а при / = 0и-oo<jcO; u = b при / = 0 и 0<jc<+oo точное решение имеет вид - - < и = а при X Upt; u = b при х > Upt, где Up - скорость распространения, которую следует определить. Если L достаточно велико, так что изменение и попадает внутрь этого отрезка, то из (14.28) следует \udx = [0.52] = 0.5 (а2 - 62). (14.33) Но, с другой стороны, 5 udx = U[u]t = 0.5U{ab), И поэтому 10.5иЦ [и] = М( = 0.5(а + 6). (14.34) где [ ] означает изменение величины при переходе через разрыв. Если аппроксимировать (14.28) по схеме Мак-Кормака (14.29), (14.30) и исключить промежуточное решение, то - щ, {Fj - FOr + 0.25 [(F/, - Fif - {F, - F.fT = 0. (14.35) Если вычислить (Э/(Э/ udx по правилу средней точки, то \udx = [0.5 Г) + ( 2 -+ ... + + Kt\-t ,) + 0.5(u--~u-)]. Сделав подстановку из (14.35) и произведя внутренние сокращения, можно получить -- \udx = 0.25 [- (f о + 2f 1 + F2) + (/Tv-i + 2F + f .+0] + + 0 (Ax) = 0.5 (a2 - 62) + О (Ajc), T. e. сохраняется (14.33). Результат точен, если Fq = F\ = F2 и Pn-x = Fm = Fni. 14.2.3. SHOCK: программа расчета движущихся ударных волн В настоящем разделе будет рассмотрено применение схемы Мак-Кормака и двухшаговой схемы Лакса - Вендроффа для расчета распространения ударной волны в нестационарном одномерном потоке. Будет продемонстрировано применение искусственной вязкости для получения гладкого профиля ударной волны. Движение ударной волны в одномерном невязком потоке описывается уравнениями д9 , д(9и) dt дх d(9u) dt + i{9u + p) = 0, (14.36) (14.37) P (в + 4 и)] + [p (e + u)+ p]} = 0. (14.38) Данные уравнения представляют в консервативной форме уравнения неразрывности, л:-компоненты импульса и энергии; они
|
© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка |