Разделы сайта

Читаемое

Обновления May-2018

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 [ 57 ] 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

аналогичны системе (11.117) без членов т и Для идеального газа, например воздуха, удельная внутренняя энергия может быть представлена в виде

e = cj-

(Y-l)P

(14.39)

где 7 - отношение удельных теплоемкостей. Если учесть (14.39), то очевидно, что уравнения (14.36) - (14.38) содержат три зависимые переменные: и, р и р.

Для задачи о движущейся ударной волне необходимо определить граничные условия Дирихле для и, р я р перед волной и за ней. Они имеют вид

(14.40)

и = щ, P = Pi, Р = Р\ при Х = Хи

U = U2 = 0y р = р2, Р = Р2 при Х = Х2,

При =0 ударная волна расположена в точке х = хо. Следовательно, соответствующие начальные условия имеют вид

и{х, 0) = щ, р(л:, 0) = рь р{х, 0) = Pi при xxXq, и{х, 0) = 0, р(л:, 0)=р2, р(х, 0) = Р2 при Xq<xX2.

(14.41)

Точка х = Х[ расположена далеко вверх по течению от скачка, а точка х = Х2 - далеко вниз.

В качестве параметров обезразмеривания зависимых переменных удобно выбрать их значения в области, расположенной вниз по течению от скачка. Поскольку

рА = УР2 (14.42)

уравнения (14.36) -(14.38) могут быть записаны в компактном безразмерном виде

+ §г=0, (14.43)

р/{у-1) + (иГ

9{uf + ph L[pY/(Y-I) + 0.5p( )] J

(14.44)

=Ь =t =т. > т-

Штрих означает безразмерную величину.



=(7r~0{2/[Y(V+l) + Y(Y-l); V (Y-1) )J/V(Y-l) pJ-

Для оценки точности численного решения (14.43) - (14.45) необходимо найти скорость скачка, зная которую, можно определить его положение. Безразмерная скорость распространения ударной волны получается из соотношений Ренкина - Гюгонио

Штрихи далее будут опускаться. По истечении времени / точное решение будет иметь вид

ех( , Л:) = ь Рех(, 0 = Pl при XXX + Uj, ех( , ) = 0, Рех(л:, 0=Р2 ПрИ + ss < < 2-

В программе SHOCK для решения (14.43) схема Мак-Кормака и двухшаговая схема Лакса - Вендроффа реализуются следующим образом:

1. Схема Мак-Кормака

Ч/ = Я?-4г(Р,-Ра (14.49)

qr = 0.5 (qHq}) - 0.5 [F? - F; ,]. (14.50)

2. Схема Лакса-Вендроффа

q;+,/2 = 0.5 (q; + q;,) - 0.5- И+, - F, (14.51)

ЧГ = Ч?-[Р;../2-Р;-./2]. (14.52)

Граничные условия (14.40) записываются в безразмерном виде

<-Ь оЬ i-f р <=ь

(14.45)

ц = 0, Р2=1, р=1 при а:2 = Т--

Отношение давлений р\/р2 является основным параметром этой задачи и определяет интенсивность скачка и скорость его распространения. При заданном отношении давлений граничные значения и[ и pj получаются из соотношений Ренкина - Гюгонио [Liepmann, Roshko, 1957]

(14.46)



Собственные числа матрицы A = dF/dq для (14.43) и (14.44) равны Х = и, и + а, и - а. Следовательно, условие устойчивости для обеих схем имеет вид (\и\ + a)t/Ax I,

Таблица 14.3. Параметры, используемые программой SHOCK

Параметр

Описание

= 1 схема Мак-Кормака; =2 схема Лакса - Вендроф-фа

IFCT

= 1 используется коррекция потоков (FCT), п. 14.2.7

1 печатается tt р, p Г] 2 печатается Q, F

Число пространственных узлов

Число шагов по времени

Шаг по времени

Шаг по пространству Ал:

Отношение удельных теплоемкостей у

PRAT

Отношение давлений pi/p2

SHST

Положение скачка при = 0

Скорость скачка Uss/a2

SHFN

Чоложение скачка в момент = NT.A/

U, RH, P, T

и\ р, р\ Т\ (14.44)

Q, F

q , q +S F , F*, (14.49)-(14.52)

(14.49)

Искусственная вязкость v, (14.53)

DL, DLM

Aq;*, Aq;;i, (14.54)

Время Г

Точное значение скорости и при r = NT.A

ETA, ETl, ET2

Параметры, используемые в FCT, табл. 14.4

ENU, EMU, DF

Параметры, необходимые для FCT, табл. 14.4

Подпрограмма, осуществляющая FCT-сглаживание, рис. 14.24

Описанные выше схемы реализованы в программе SHOCK (рис. 14.17). Назначение параметров, используемых в программе, поясняется в табл. 14.3. Типичные профили ударной волны, рассчитанные по программе SHOCK, приведены на рис. 14.18. Эти решения были получены при 101 пространственном узле и Ах = 0.01. Граничные условия (14.45) используются при xi = О и Х2 = 1.0. Шаг по времени = 0.002, ударная волна



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 [ 57 ] 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2018 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка
Besucherzahler
счетчик посещений