Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 [ 63 ] 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

Это относится к линейным разностным схемам. Порядок нелинейных монотонных схем может быть выше первого.-Ярмж. ред.

Метод коррекции потоков применим и в случае многих переменных. Обобщение метода можно найти в работах [Zalesak, 1979, 1978; Book, 1981]. Залесак предлагает иную интерпретацию метода коррекции потоков (FCT). Первый шаг, заменяющий (14.73), осуществляется по схеме низкого порядка, гарантирующей отсутствие осцилляции. Антидиффузионные потоки, заменяющие (14.75), вычисляются как разность между дискретным представлением потока высокого порядка и тем же представлением низкого порядка, которое использовалось при замене (14.73). Ограничение антидиффузионных потоков, эквивалентное (14.76), в этом случае обеспечивает решение с аппроксимацией потоков высокого порядка, за исключением точек, где это привело бы к ложным осцилляциям.

Хотя метод коррекции потоков эффективен при построении неосциллирующих скачков, трудно дать его строгое теоретическое обоснование. При разработке схем сквозного счета должны выполняться следующие условия [Harten et al., 1983]. Численные схемы для решения скалярных уравнений сохранения, подобных (14.28), должны сохранять монотонность и сходиться к физически корректному решению. Например, численные схемы не должны приводить к появлению ударных волн разрежения (см. рис. 14.28). Схемы, отбирающие физически корректные решения, допускающие разрывы лишь в виде ударных волн или контактных разрывов, называются схемами, удовлетворяю-щими энтропийному условию.

Концепция сохранения монотонности решения тесно связана с идеей невозможности появления ложных максимумов или минимумов, т. е. осцилляции, развивающихся со временем. Таким образом, если начальные данные являются монотонной функцией Xj, решение в последующие моменты должно оставаться монотонной функцией Х}.

Однако не существует монотонных схем с порядком аппроксимации по пространству выше первого \ Следовательно, такие схемы обладают большой диффузией, профили ударных волн сильно размазываются и точные решения могут быть получены лишь на недостижимо мелких сетках. Таким образом, при использовании схем, сходимость которых строго доказана, на конечных сетках можно получить лишь неточные решения.

Повышение точности без потери строгого теоретического обоснования может быть достигнуто путем замены условия сохранения монотонности условием уменьшения полной вариации TVD [Harten, 1983] (сокращенно от английского Total Varia-



tion Diminishing). Полная вариация численного решения определяется следующим образом:

TV (и) = Е I и-, - и-1. (14.80)

Следовательно, численная схема будет схемой TVD, если

TV(w+0<TV( ). (14.81)

Схемы TVD не приводят к образованию нефизических осцилляции, и с помощью этих схем в областях гладкого изменения решения может быть получен второй порядок точности. Чтобы эти схемы удовлетворяли энтропийному условию, требуется введение дополнительных ограничений. Обычный путь получения более высокого порядка точности состоит в введении антидиффузионных потоков , обеспечивающих выполнение условия TVD.

Очевидно, здесь существует некоторая аналогия с методом коррекции потоков. Эта аналогия может быть показана при рассмотреции схемы Лакса - Вендроффа, т. е. схемы (14.73) при V = 0. Эта схема может быть представлена в виде

рГ = р? - с (р? - pU) - ( 4-1/2 - -1/2), (14.82)

где +1/2 = 0.5С(1 - С)(р/+1 - р/) и аналогично для 1/2.

Уравнение (14.82) можно рассматривать как замещающее уравнения (14.73) и (14.74). Таким образом, разность против потока первого порядка заменяет (14.73). Если бы не было члена ( +1/2 - -1/2), схема (14.82) сохраняла бы монотонность (и, следовательно, была бы TVD). Член ( +1/2 - -1/2), состоящий из антидиффузионных потоков, эквивалентен (14.74) и (14.75) при соответствующем выборе р. Однако полная схема Лакса - Вендроффа не является схемой TVD; она дает осциллирующее решение на сильных скачках. В рассматриваемой интерпретации это означает, что антидиффузионные потоки, присущие схеме Лакса - Вендроффа, слишком велики и приводят к появлению осцилляции. Если их каким-либо образом ограничить, то в результате получится модифицированная схема коррекции потоков. Эффективный способ ограничения антидиффузионных потоков состоит в введении выражения

/+1/2 = <(г/)[0.5С(1 -С)](р/+,-р/) (14.83)

и аналогичного выражения для -1/2 вместо +1/2 и -1/2 в (14.82). Функция (г/) называется ограничителем. Параметр



Г/ равен отношению прилежащих градиентов, т. е.

. = 1. (Н.84,

Функция (г/) выбирается так, чтобы схема (14.82) с учетом (14.83) была схемой TVD. В работе [Sweby, 1984] предложены следующие ограничения для ф(г):

0<(0<niin(2r, 2) при г>0; ф{г) = 0 при г<0. (14.85)

Этим ограничениям удовлетворяют схемы TVD первого и второго порядков. Чтобы обеспечить второй порядок точности по пространственной переменной, за исключением точек экстремума (г <0), необходимо, чтобы (1)= 1. В работе [Roe, 1986] предложен следующий выбор ограничителя:

!= min(2, г) при г> 1, = min(2r, 1) при 0<г<1, (14.86)

= 0 при г<0.

Б работе [Sweby, 1984] показано, что методы ограничения потока, предложенные в работах [Van Leer, 1984; Roe, Baines, 1982; Chakravarthy, Oshef, 1983], могут быть представлены в виде (14.82), (14.83). Различные алгоритмы соответствуют различным выборам ф{г).

Очевидно, что в противоположность двухшаговым алгоритмам FCT схема (14.82), (14.83) является одношаговой. Кроме того, выбор свободных параметров алгоритма FCT сведен к выбору ограничителя Ф(г), Простая структура ф(г) и одношаговая структура алгоритмов ограничения потока обеспечивает экономичность их использования. То что алгоритмы являются одно-шаговыми, позволяет разработать эффективные неявные схемы TVD [Yee et al., 1985], удобные для расчета стационарных течений (§ 18.5), как невязких, так и вязких, в которых возникают ударные волны.

Для расчета нестационарных течений более предпочтительными являются явные схемы TVD, поскольку линеаризация, необходимая для эффективного применения неявных схем TVD (становится возможным применение алгоритма Томаса (п. 6.2.2)), приводит к неконсервативности неустановившихся решений.

Как уже отмечалось выше, в случае возможности появления разрывов в решении желательно, чтобы дискретное представление исходных уравнений было консервативным. Для (14.28) допустима дискретизация конечного объема

r= ?-j( +./2-n-./2). (14.87)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 [ 63 ] 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка