Эта схема консервативна в дискретном смысле, однако желательно, чтобы она была эквивалентна интегральной или слабой форме (5.6) законов сохранения. В этом случае будут правильно описываться скачки функций при переходе через любой разрыв. Уравнение (14.87) можно рассматривать как дискретное представление законов сохранения, если положить

/+1/2 /-1/2

т. е. значение в узле сетки Uj считается равным среднему на интервале Х/-1/2 /-ы/2 значению. В соответствии с такой интерпретацией величина / /+1/2 называется численным потоком и рассматривается как функция узловых величин, т. е. F/+1/2 = = F{ujkU Простейшим примером такого представ-

ления является (14.83), поскольку (Д Ах) = Ср/ и т. д.

Схема ограничения потока (14.82), (14.83) может быть представлена в виде (14.87) следующим образом:

рГ=Р/-(Г1/2~ -1/2), (14.88)

+1/2 = 0.5 ( + 0 - 0.5ОГ ( 1 - ) +

+ 0.5 (г) (or-С) ( ,!- ) (14.89)

и а= sign С/+1/2. Данная схема пригодна при положительных и отрицательных значениях и. Более точное решение, однако, получается, если (14.84) заменить выражением

Р/ + 1 а-Р/-а (14.90)

т. е. отношение градиентов вычисляется по значениям, лежащим против потока. Два первых члена в (14.89) составляют разность против потока в (14.82). Последний член связан с ограничением потока (14.83). Для уравнения (14.72) с постоянным значением и f = ри в (14.88).

Описанные выше схемы TVD могут быть обобщены на нелинейные системы уравнений, подобные уравнениям Эйлера (14.43). Уравнения Эйлера для этого приводятся к характеристическому виду. Схемы TVD, например (14.88), применяются отдельно к каждой характеристической составляющей. Решение уравнений Эйлера получается в результате суммирования вкладов от характеристических компонент. При этом, однако, нет теоретически обоснованного доказательства, что схема будет

схемой TVD (как в случае скалярного уравнения); на практике профили скачков получаются без осцилляции.

Система (14.43) может быть представлена через характеристические составляющие:

m = l

(14.91)

где fXm = {0.5/y, (у - 1) /у, 0.5/у), собственные числа Кщ = = {и - а, и, + а} и соответствующие собственные векторы

9 (и -а)

9{и + а)

(14.92)

тле Н = {Е + р)/р.

В каждую компоненту решения q вносят вклад характеристические составляющие, т. е. q = 2]iae. Скалярная схема TVD, эквивалентная (14.88), применяется к каждой характеристической компоненте (14.91). В результате получается

Cm, / = Cm, /--Хх - Гт, /-1/2;,

где Fm = mCm.

Направление против потока в уравнениях, аналогичных (14.89), зависит от о = sign(Km). Следовательно, при расчете различных характеристических составляющих используются значения в различных точках сетки и для различных характеристических составляющих можно ввести различные ограничители Ф(г).

Характеристическое разложение позволяет получить крутые профили скачков и правильную скорость их распространения. Характеристическое разложение использовалось в работах [Roe, 1981, 1986; Yee et ai., 1985]. Тот же тип разложения использовался в методе характеристик Галёркина с конечными элементами [Motton, Sweby, 1987]. Применение такого разложения по отдельности к каждой компоненте потока позволяет корректно описать задачи с двумя и большим числом пространственных переменных. Так, в работе [Yee, 1986] схема TVD ограничения потоков применялась для расчета дифракции ударной волны на наклонном профиле. Флетчер и Мортон [Fletcher, Morton, 1986] применяли метод характеристик Галёркина с конечными элементами для расчета нестационарной задачи о наклонном отражении скачка, связанного со сверхзвуковым течением около клина.

Более подробное описание схем TVD высокого порядка точности можно найти в работе [Chakravarthy, 1986], а также в приведенных в ней ссылках, в частности в работе [Chakravarthy, Osher, 1985].

14.2,7. FCT: алгоритм расчета движущейся ударной волны

В данном разделе алгоритм FCT, аналогичный описанному в п. 14.2.6, будет применен к задаче о распространении ударной волны, рассмотренной в п. 14.2.3. На практике алгоритм ЕСТ можно рассматривать как шаг, который надо добавить к схемам Мак-Кормака и Лакса - Вендроффа, рассмотренным в п. 14.2.3. Настоящее описание будет соответствовать звуковой схеме ЕСТ Лакса - Вендроффа, предложенной в работе [Book et al., 1975].

Решение, полученное по формулам (14.50) или (14.52), обозначается через q**. Звуковой алгоритм ЕСТ состоит из следующих шести шагов:

(1) Вычисление диффузионных потоков

ff+i/2 = V/+1/2 (q/+i - q/).

(2) Вычисление антидиффузионных потоков

fad / ** **\

/+1/2 = Р/+1/2 vq/+i - q/ Л

(3) Диффузия решения

(4) Расчет первых разностей q***

(5) Ограничение антидиффузионных потоков

5 = sign f/+i/2,

{ж/2 = 5тах[0, min{5Aq;!ri/2, {ffiml ЗАцТзпЯ

(6) Антидиффузионное решение

п+\ *** fiCad , £cad Ч/ =Ч/ - 1/4-1/2 + Т/-1/2.

На шагах (1) и (2) коэффициенты диффузии v и антидиффузии Р зависят от координаты. Это следует из уравнения (14.79), согласно которому

/ + 1/2 = ЛО + Л1 ( /+1/2 , Р/+1/2 = ЛО + Л2 ( /+1/2 17)

(14.93)