ционарном случае можно построить маршевый по одной из координат алгоритм расчета. В данном разделе рассматриваются неявные схемы решения уравнений Эйлера в случае трансзвуковых течений.

Для стационарных трансзвуковых течений доказано [Rizzi, Viviand, 1981], что при определенных условиях, когда можно ожидать появления ударных волн, методы, основанные на полностью консервативном потенциальном подходе, описанные в п. 14.3.3, могут дать неправильное положение скачков. Более того, возможно несколько решений при одних и тех же граничных условиях. Следовательно, там, где знание правильного положения и интенсивности скачков существенно, например при расчете обтекания профиля с ненулевой подъемной силой, более надежными являются методы, основанные на решении уравнений Эйлера.

Для стационарных трансзвуковых течений решение уравнений Эйлера, как правило, получается методом установления (§ 6.4). Основная задача заключается в построении быстро сходящегося процесса. В работе [Viviand, 1981] приведен обзор задач и возможных методов решения.

Явные схемы конечного объема, основанные на методе Мак-Кормака, описаны в работах [Rizzi, Eriksson, 1982; Lerat, Sides, 1982]. Однако явные схемы, как правило, требуют большого числа итераций (шагов по времени) для достижения стационарного состояния из-за ограничения КФЛ на величину шага по времени.

Неявные схемы, основанные на расщеплении или приближенной факторизации (гл. 8), позволяют использовать гораздо большие шаги по времени, и, следовательно, стационарного состояния можно достичь за гораздо меньшее число итераций. Можно провести сравнение для течения около профиля NACA-0012, расположенного под углом атаки а = 1.25° при Моо = = 0.80. С использованием явной схемы [Rizzi, 1981] получена сходимость после 4900 итераций на сетке 141 Х21. При помощи приближенно факторизованной (неявной) схемы [Pulliam, 1985] на сетке 161X33 получено решение, весьма близкое к решению Рицци, примерно за 250 итераций. Однако, если явные алгоритмы использованы в сочетании с многосеточным подходом (п. 14.2.9), они становятся более конкурентноспособными.

Ниже будет описан типичный неявный алгоритм интегрирования по времени уравнений Эйлера. В случае двух пространственных переменных уравнения Эйлера в консервативной форме могут быть представлены в виде

m = pu, n = pv и для идеального газа

p = {y-l)[E-0.59(u + v%

(14.95)

(14.96)

Для данных уравнений потоки могут быть представлены в виде

F = Aq, G = Bq,

где А и В - матрицы Якоби, т. е.

(14.97) (14.98)

Матрицы А и В равны о

0.5 (Y-3) 2+0.5 (Y-l)y

(Y~l)y (Y-1) и О

(3-y) и

и [-y/p+(y-l) (u-\-v)] y£*/P~0.5 (y-1) (32+2) (у~1) uv yu

(14.99)

0 0 10

-mo V и 0

0.5 (Y-1) 2-0.5 (3-y) у -(y-l) i-y)v (y-l)

V [-Y/p+(Y-.l) (u-\-v)] -(y-1) y/p-0.5 (y-l) (м+Зу)

Для построения неявной схемы уравнение (14.94) представляется в следующем дискретном виде:

(1 + Y) - Y = -(1 - Р) ilj + LyG) -

-ра.РЧХО, (14.100)

где Aq + =q +i - q , а у и р -параметры схемы. Ранее lx и Li/ были определены как центрально-разностные операторы, например

В данном случае эти операторы остаются неопределенными, поскольку может оказаться, что в сверхзвуковой области течения

= - ТТ7 + У + ТТ7

Здесь ...Lt/B}]Aq +i означает Lt,(BAq+i).

Если необходимо получить лишь стационарное течение, то можно положить 7 = 0, р=1.0 и применить для решения расширенный метод Ньютона (п. 6.4.1). Единственное отличие от обычного метода Ньютона состоит в наличии дополнительных диагональных членов, связанных с единичной диагональной матрицей I. При А/-оо используется обычный метод Ньютона.

Однако, если у, и At выбраны, проводить численное решение (14.103) в том виде, как оно записано, чрезвычайно неэкономно. Из-за разложения (14.101) порядок аппроксимации уравнения (14.103) в лучшем случае лишь О (At). При некоторых выборах 7 и р, например при ньютоновском 7 = 0, р = 1.0, порядок аппроксимации (14.103) лишь О (At).

С точностью до О (At) порядок аппроксимации не изменится, если к левой части уравнения (14.103) прибавить член

В результате получится

{L,F + L,G } + TT74 . 04.104)

более предпочтительной будет другая дискретизация по пространственным переменным.

Предполагается, что решение q известно на п-м временном слое и решение на (n-f 1)-м слое необходимо определить из уравнения (14.100). В основном будут использованы методы, описанные в § 8.2, п. 9.5.1 и 10.4.2, т. е. для определения добавки к решению Aq*+ будет получена линейная система уравнений; F+i и С - нелинейные функции q+l. Эти члены могут быть линеаризованы путем разложения в ряд Тейлора в окрестности п-го момента времени, т. е.

p+i =F + A lA/ + 0(A) = F + AAq -40(A/), (14.101)

Q+l Qnn д + 1 Q (д2> (14.102)

где и В -матрицы Якоби (14.99), вычисленные на временном уровне п. Подстановка в (14.100) приводит к соотношению