На сверхзвуковой входной границе все характеристики входят в расчетную область, поэтому граничные условия требуются для всех переменных. Наоборот, на сверхзвуковой выходной границе все характеристики выходят из расчетной области, так что граничные условия не требуются.

Описанный выше подход может быть распространен на многомерный случай, если скорость и рассматривается как нормальная к границе компонента скорости. Это легко сделать в обобщенных криволинейных координатах (гл. 12), поскольку направление нормали к границе обычно совпадает с обобщенной координатой. Пример применения такого подхода можно найти в работе [Steger et al., 1980].

Для дозвуковых течений существует выбор того, какие зависимые переменные или их комбинации должны быть определены на удаленной границе. Обычно граничные условия на дозвуковой входной границе определяют направление потока, энтропию и полную энтальпию. Значения плотности при помощи характеристического условия совместности определяются через решение внутри области. На дозвуковой выходной границе будет правильно определить давление, значения ра, pv и Е экстраполировать по значениям внутри области, а р определить из (14.96).

Граничные условия должны быть поставлены неявно, так чтобы на весь алгоритм не действовало ограничение КФЛ на шаг по времени. Соответствующие постановки можно найти в работах [Yee, 1981; Pulliam, 1981; Chakravarthy, 1983; Rai, Chaussee, 1984].

Правильная численная реализация граничных условий на удаленной поверхности существенна для достижения стационарного решения за минимальное число шагов по времени. Решение в любой промежуточной точке (по времени) может быть разделено на стационарную и нестационарную части. Алгоритм численного решения, например (14.105), (14.106), можно рассматривать как алгоритм, целью которого является обращение в нуль нестационарной части решения за минимальное число шагов по времени. Нестационарная часть решения состоит из волн, распространяющихся по расчетной области. Граничные условия на удаленной поверхности желательно поставить так, чтобы они позволяли нестационарной части решения проходить через границы без отражений.

Эффективный прием, предложенный в работе [Bayliss, Tur-kel, 1982] для внешнего течения, заключается в линеаризации уравнений Эйлера относительно однородного потока, т. е. u=Uоо, V = 0, р = Роо и р = роо. После этого вводится граничное условие, которому удовлетворяет решение линеаризованных уравнений.

Для дозвуковой выходной границы в случае потока, параллельного оси х, в работе [Bayliss, Turkel, 1982] рекомендуется использовать следующее граничное условие:

1 др 9оо1о ди у dv \

(al - Uiyf dt al - Ul d dt dt 2d

(14.110)

где d = (l - М)л:2-f у2. Применение условия (14.110) требует знания Poo, t/oo и йоо. В той же работе авторы указывают, что эти величины можно взять из решения на предыдущем шаге по времени. Очевидно, в стационарном случае условие (14.110) сводится к р = роо, где роо - определенное на внешней границе давление.

Другое граничное условие на выходной границе, предложенное в работе [Rudy, Strikwerda, 1981], имеет вид

-If - Роооо 4г + - = О, (14.111)

где обычно для наибольшей скорости сходимости а = 0.3. В работе [Bayliss, Turkel, 1982] обнаружено, что для большей части задач применение (14.110) предпочтительней (14.111).

На удаленной границе, являющейся твердой стенкой, например на стенке аэродинамической трубы, необходимо определить одно граничное условие. Если стенка параллельна оси х, в той же работе рекомендуется использовать следующее граничное условие:

1-Р.а.=0. (14.112)

Для ускорения сходимости уравнения во внутренней части области могут быть модифицированы. Уравнения (14.94) удобно представить в виде

-If + lf+f-O. (14.113)

где N - матрица, ускоряющая сходимость. В работе [Viviand, 1981] приводится обзор методов установления для расчета трансзвуковых течений, попадающих в класс (14.113).

В работе [Turkel, 1985] определена матрица N так, что если провести факторизацию системы (14.113) аналогично (14.107), то собственные числа, эквивалентные (14.108), не будут зависеть от скорости звука а.

Если N - диагональная матрица, то (14.113) сводится к выбору различных шагов по времени для каждой точки сетки. В работе [Pulliam, 1985] приводится следующая формула, ком-

ленсирующая изменение сетки по пространству:

Дьс = -%7г,- (14.114)

где/ - якобиан (12.3).

С другой стороны, A/ioc выбирается из условия постоянства эффективного числа Куранта, т. е.

Д ос = -. (14.115)

где W ={и + v) /2, а k имеет обычно порядок 0(10).

Для стационарных течений с более сильными скачками предпочтительней для нахождения стационарных решений в методах установления с приближенной факторизацией, аналогичных (14.105), (14.106), использовать неявные схемы TVD (п. 14.2.6). Подобные алгоритмы описаны в работах [Yang et al., 1986; Chakravarthy, 1986].

Неявные схемы решения уравнений Эйлера с небольшими модификациями применимы и для решения уравнений Навье - Стокса. Многие из методов, описанных в гл. 18, применимы и к уравнениям Эйлера.

14.2.9, Многосеточные методы решения уравнений Эйлера

При определении стационарных решений уравнений Эйлера для ускорения сходимости можно использовать многосеточные методы (п. 6.3.5). Здесь будет описан алгоритм [Ni, 1982], в котором нестационарные уравнения Эйлера интегрируются по времени до стационарного состояния по явной схеме. При многосеточном подходе сильное ограничение на шаг по времени, связанное с использованием явной схемы, не столь существенно, поскольку интегрирование на грубой сетке позволяет быстро пройти промежуточные стадии решения.

В алгоритме используются одношаговые разности по времени Лакса - Вендроффа (10.10) второго порядка точности и дискретизация по методу конечного объема (§ 5.2). Работа алгоритма будет продемонстрирована на однородной декартовой сетке (рис. 14.27). Обобщение на случай неоднородной сетки производится очевидным образом [Ni, 1982; Hall, 1984]. Отправной точкой являются двумерные нестационарные уравнения Эйлера

q = -(F.+ G,), (14.116)

где q, F и G определяются уравнениями (11.117), в которых следует опустить члены с т и Q.

Применение метода конечного объема (п. 5.2.1) к контрольному объему (/-f 1/2, k+l/2) и дискретизация по времени