При рассмотрении обтекания изолированного тела (рис. 11.5) граничным условием будет равенство нулю нормальной к поверхности тела составляющей скорости. На границах, удаленных от движущегося тела, требуется поставить два граничных условия на входной поверхности AD и одно на выходной - ВС, Ти-

Область расчета

i;=0

Рис. 11.5. Граничные условия для несжимаемого невязкого течения

пичные граничные условия приведены на рис. 11.5. Данная конфигурация соответствует невязкой двумерной трубе.

Для любого класса течений линии, касательные к которым в данный момент времени в каждой точке совпадают с направлением вектора скорости v в этой точке, называются линиями тока. Локальный наклон линии тока определяется уравнениями

dx dy dz

и V w

(11.47)

Для стационарного течения уравнения (11.21) могут быть проинтегрированы вдоль линии тока, в результате чего получится следующее уравнение:

уЯ = V {0.5q + А + г)) = О, (11.48)

где яр - потенциал массовых сил (т. е. массовые силы предполагаются потенциальными и f = -Vi?). Если массовая сила является силой тяжести, действующей в отрицательном направлении оси г, то (11.48) принимает вид

Я = 0.5q + -+gz = const

(11.49)

на каждой линии тока. Уравнение (11.49) называется уравне-маем Бернулли, а Н - переменной Бернулли. В уравнении

Путем комбинации источников и стоков (отрицательных источников) можно получить обтекание замкнутых тел. Так, например, источник и сток, помещенные в однородный поток (рис. 11.7), создают обтекание овала Ренкина. Скорость в любой точке Р{х,у) может быть представлена в виде комбинации

(11.49) 0.592 есть кинетическая энергия, т.е. = v-v. Уравнение (11.49) играет весьма важную роль, поскольку оно дает прямую алгебраическую связь между давлением и скоростью.

Для безвихревых течений ( = rotv = 0), например, если поток вдали от помещенного в него тела однороден, величина Н имеет одно и то же значение на всех линиях тока и, следовательно, уравнение (11.49) выполняется для любых двух точек независимо от того, лежат они на одной линии тока или нет. Для безвихревого течения (rot v = 0) полезно ввести в рассмотрение потенциал скорости v = УФ или

= =-7 -дГ- ( -SO)

Уравнение неразрывности в этом случае принимает вид уравнения Лапласа

у2ф = 0. (11.51)

Поэтому данный класс течений (невязкие, несжимаемые и безвихревые) называются потенциальными течениями. Уравнение Лапласа, дополненное равенством нулю нормальной составляющей скорости на поверхности помещенного в поток тела и значениями скорости вдали от тела, полностью определяет распределение скоростей. После определения скорости давление может быть определено из уравнений Эйлера (11.21) или более просто-из нестационарного уравнения Бернулли для безвихревого течения

+ = + 0 57 + f + 2 = const. (11.52>

Уравнение Лапласа (11.51) линейное и имеет ряд простых точных решений, любая суперпозиция которых является его решением. Из уравнений (11.50) следует, что скорость также подчиняется правилу суперпозиции. На рис. 11.6 в точке Гз изображен двумерный источник интенсивности т. Потенциал, удовлетворяющий (11.51), для такого источника имеет вид

Ф = (т/2я)1п(г~г,). (11.53>

Радиальная и окружная компоненты скорости равны

1[{х - Xsf + {у- ysff ve = 0, (11.54>

выражений (11.54) для отдельных источников и скорости набегающего потока

X + а X - а

(11.55) (11.56)

В принципе распределение вдоль оси х источников и стоков соответствующей интенсивности точно воспроизводит картину

Линия тока

Линия

постоянных Ф

Рис. 11.6. Течение от источника. Источник, m

Сток, - т

Линии тока i

Рис. 11.7. Потенциальное течение у овала Ренкина.

обтекания тел хорошо обтекаемой формы. Однако из-за большей вычислительной эффективности на практике применяется тесно связанный с данным панельный метод (п. 14.1.1).

Другое точное решение уравнения Лапласа используется при моделировании течений около тел специальной геометрии, на-