Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 [ 70 ] 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

пользуются более простые многосеточные алгоритмы. Ниже будет кратко описан метод Ни [Ni, 1982].

На промежуточной сетке изменение Aq в контрольном объеме рассчитывается не по формуле (14.117), а получается путем сужения добавки 6q + в узле следующей более мелкой сетки, т. е.

Aq = C+i6q \ (14.124)

где /т+1 - оператор сужения (п. 6.3.5).

Последовательность более грубых сеток строится путем исключения линий сеток таким образом, чтобы центры контрольных объемов на более грубых сетках совпадали с узлами более мелкой сетки. Из (14.117) и (14.122) можно заметить, что сужение добавок (14.124) эквивалентно сужению разностей (6.85).

По полученным из (14.124) значениям Aq поправки, соответствующие узлам сетки Sq , получаются из (14.122). Поправки затем либо интерполируются на самую мелкую сетку М, в результате чего получается поправка на самой мелкой сетке

6q = C6q\ (14.125)

либо используются для определения поправок контрольного объема следующей более грубой сетки, т. е. вновь используется (14.124) при т = т- 1.

Подцикл многосеточного алгоритма начинается на самой мелкой сетке М, последовательно сужается при помощи (14.124) на более грубые сетки и интегрируется по времени при помощи (14.122), пока не будет достигнута самая грубая т-я сетка. После этого решение на т-й сетке интерполируется по (14.125) обратно на самую мелкую сетку. Каждый подцикл в отличие от V-цикла, изображенного на рис. 6.21, представляет собой зуб пилы. Полный многосеточный цикл состоит из решения (14.117) и (14.122) на самой мелкой {М) сетке с последующими циклами типа зуб пилы, пока не будет достигнута наиболее грубая (т = 1) сетка.

Ни [Ni, 1982] использовал последовательность из четырех [М = А) сеток. Самая мелкая сетка состояла из 65 X 17 узлов. Для расчета трансзвукового обтекания препятствия в канале потребовалось 900 шагов по времени, чтобы достичь стационарного состояния, т. е. (14.117) и (14.122) использовались только на самой мелкой сетке. При использовании описанного выше многосеточного алгоритма требуется 130 многосеточных циклов с сокращением времени счета примерно в 4 раза. Тот же алгоритм был использован для расчета течений около осесиммет-ричной гондолы и каскада лопаток ротора турбины.



В работе [Johnson, 1983] описано обобщение алгоритма Ни на двухшаговую явную схему типа Лакса - Вендроффа (п. 14.2.2); в работах [Davis et al., 1984; Chima, Johnson, 1985] применен метод типа Ни для решения сжимаемых уравнений Навье - Стокса.

Использована также дискретизация по методу контрольного объема уравнений Эйлера с расположением узлов сетки в центрах контрольных объемов [Jameson, 1983]. Вместо описанной выше схемы Лакса - Вендроффа использовалась четырехшаго-вая схема Рунге-Кутты (§ 7.4). Многосеточный алгоритм Джеймсона аналогичен алгоритму Ни, за исключением того что использовался лишь один цикл типа зуба пилы при переходе на самую грубую сетку и интерполяция на самую мелкую сетку проводилась через все промежуточные сетки.

В работе [Mulder, 1985] скомбинирована неявная схема маршевого интегрирования по времени с многосеточным методом и методом расщепления потоков [Steger, Warming, 1981]. Чтобы получить более крутые фронты скачков, использовался метод ограничения потоков. Применялась также многосеточная схема FAS (п. 6.3.5) с релаксацией Гаусса - Зейделя к стационарным уравнениям Эйлера при помощи дискретизации методом конечного объема второго порядка с расположением центров контрольных объемов в узлах сетки [Hemker, 1986]. Быструю сходимость многосеточного метода можно использовать в схемах TVD первого порядка (п. 14.2.6) до момента, когда сходимость будет почти достигнута. Ограничения потоков второго порядка можно вводить лишь для окончательного определения стационарного решения.

§ 14.3. Трансзвуковые невязкие течения

Выделение трансзвуковых невязких течений в отдельную категорию связано с тем, что такие течения можно рассматривать специальным образом на основе уравнений потенциала, если образующиеся в них скачки малы. Трансзвуковые невязкие течения характеризуются наличием зон до- и сверхзвукового течения (рис. 11.15). Основное внимание будет уделено методам решения стационарного уравнения потенциала. Дополнения, необходимые для решения нестационарного уравнения, будут приведены в краткой форме.

14,3.1. Общие замечания

Если течение безвихревое, можно ввести потенциал скорости (11.102). Уравнения Эйлера тогда можно свести к одному уравнению в частных производных и вспомогательному алгебраиче-



скому уравнению. Для двумерного стационарного течения уравнение для потенциала скорости имеет вид

(а2 - 2) Ф - 2тФу + (а2 - v) Ф О, (14.126)

скорость звука а определяется выражением (11.104). Если (14.126) записать в естественных координатах (5, п), т. е. 5 параллельно локальному направлению потока, а п перпендикулярно ему, то уравнение примет вид

(1-М2)Ф + Ф = 0, (14.127)

где локальное число Маха М = q/a и q = u + v. Очевидно уравнение (14.127) превращается из эллиптического в гиперболическое уравнение в частных производных, если число М становится локально больше единицы, т. е. течение становится локально сверхзвуковым. Как следует из рис. 11.15, сверхзвуковая область в направлении течения обычно заканчивается ударной, волной.

Поскольку вывод (14.126) основан на предположении о том что течение безвихревое, то по теореме Крокко [Liepmann, Roshko, 1957] течение при обтекании тела однородным потоком должно быть изэнтропическим. Однако, хотя условия Ренкина-Гюгонио (11.110) гарантируют сохранение массы, импульса и энергии при переходе через скачок, энтропия увеличивается пропорционально третьей степени от интенсивности скачка [-(Ml-М2)з]. Если число Маха для нормальной компоненты скорости перед скачком (Mi) меньше 1.1, изменение состояния течения при переходе через скачок можно считать приблизительно изэнтропическим и течение можно описывать уравнением потенциала.

Уравнение (14.126) обычно рассматривается в эквивалентной безразмерной консервативной форме (т. е. уравнение неразрывности)

(рФ:). + (рФ;). = 0. (14.128>

где Ф = Ф/([/оо/-), L - характерная длина. Безразмерная плотность получается из (11.104):

р=={, + o.5,v-.)мЦ. -(у-(у]} - .

(14.129>

где 7 - отношение удельных теплоемкостей, а Моо - число Маха набегающего потока.

Если для (14.128) используется консервативная дискретизация, то решение будет соответствовать слабой форме (14.128) (например, (5.6)). Следовательно, ударные волны будут



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 [ 70 ] 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка