Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Динамика жидкости: уравнения 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 [ 71 ] 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

улавливаться решением. Однако в разрывных решениях будут сохраняться энтропия, энергия и масса, но не импульс. Поэтому условия Ренкина -Гюгонио будут выполняться лишь приближенно. В работе [Jameson, 1978] отмечается, что скачок импульса на рассчитываемом разрыве является мерой волнового сопротивления.

Численное решение уравнений (14.128) и (14.129) можно-получить весьма эффективным образом. Соответствующие программы широко используются в авиационной промышленности

Скачок сжатия


. Скачок разрежения


Рис. 14.28. Скачки сжатия и разрежения.

ДЛЯ расчетов самолетов, работающих в трансзвуковом режиме, когда можно ожидать появления лишь слабых скачков. Для течений с более сильными скачками или течений с большими вихревыми зонами, например в следе за профилем или лопаткой турбины под углом атаки, необходимо, как правило, методами установления (п. 14.2.8, 14.2.9) решать полные уравнения Эйлера (11.22) - (11.24). Эти методы обычно значительно медленнее методов, предназначенных для решения уравнений (14.128) и (14.129). Экономичность последних особенно заметна при расчете трехмерных или нестационарных течений.

Поскольку уравнение (14.126) описывает изэнтропическое невязкое течение, его решением могут быть как ударные волны сжатия, так и ударные волны разрежения (рис. 14.28). В численных схемах должны быть предусмотрены специальные процедуры, делающие невозможным появление (физически невозможных) скачков разрежения. Это может быть сделано путем использования разностей против потока или введением искусственной вязкости в сверхзвуковых областях. Оба эти метода создают диссипативный механизм, который делает невозможным образование ударных волн разрежения.

14,3,2, Трансзвуковое уравнение малых возмущений

В случае обтекания тонких тел возможно дальнейшее упрощение уравнения (14.126), в результате чего можно получить уравнение (11.107) для возмущения потенциала ф. Если про-



филь тела задается уравнением у = т/(а:), где т предполагается малой величиной, уравнение (11.107) можно представить в виде [Cole, 1975]

t- - 0-5 (y + 1) {Ф.?\ + Ip- = о, (14.130)

где К = {\ - Му/т2/з, ф = дф/дх, В уравнении (14.130) величины t/ и приведены соответственно к масштабам т/ и т~/ Уравнение (14.130) называется трансзвуковым уравнением малых возмущений. Совместное с (14.130) условие на ударной волне имеет вид

[фу] - [Кфх - 0.5 (y + 1) {ФхП = о, (14.131)

где [ ] означает скачок величины, а dy/dx - наклон ударной волны. Можно также заменить граничное условие дф1дп = О на поверхности тела условием на оси х\

17 = Р = 0. (14.132)

Уравнения (14.130) -(14.132) правильно описывают трансзвуковые течения около тонких тел, за исключением области, расположенной непосредственно перед передней затупленной кромкой, поскольку в этой области возмущений скорости и имеют тот же порядок, что и скорость набегающего потока JJoo. Для сверхзвуковых скоростей, например Моо > 1.3, возможно дальнейшее упрощение (14.130), поскольку при этом 0.5 (y + + ) {фхУ < Кфх Уравнение (14.130) сводится к линейному уравнению (11.109), для решения которого можно использовать панельный метод (например, PAN-AIR), описанный в п. 14.1.6.

Консервативную форму (14.130), необходимую для правильного расчета скачка, можно компактно представить в виде

If + f = 0, (14.133)

где Р = Кфх- 0.5 (7 + 1) {фхУ, G = дф/ду.

Центрально-разностные операторы, определенные через значения в полуцелых точках сетки, имеют вид

Р [/+l/2,fe--/-1/2. fe] [/. fe-H/2~Afe-l/2]

- У/, k -

(14.134)

Если значение G, определенное вновь при помощи центрально-разностных операторов, подставить в (14.134), то

У/, Л-



Аналогичное выражение можно записать для Р/, . При помощи (14.134) алгоритм, удобный для дискретизации (14.133) при описании трансзвуковых течений, можно представить в виде

(14.135)

= 0 в дозвуковых точках, т. е. К > {у + 1)Фху = 1 в сверхзвуковых точках, т. е. К < (у ) Фх-

Из (14.135) следует, что в сверхзвуковых областях член др/дх в (14.133) аппроксимируется по трехточечной направленной против потока схеме (рис. 14.29), а в дозвуковой - центральной

-1 .

-k-1

k-l

i-2 j-1 j j+1

Рис. 14.29. Точки, используемые в (14.135). (а) Дозвуковая точка (/, k); (b) сверхзвуковая точка (/, k).

разностью. Отличие формул в сверхзвуковой области правильно отражает гиперболическую природу уравнений в этой области, заключающейся в отсутствии влияния вверх по потоку. На звуковой линии или на ударной волне (см. рис. 11.15), расположенными между точками (/-1,) и (]\k), уравнение (14.135) принимает вид

На звуковой линии: Q/,/ = 0,

На ударной волне: Р/, + /-i, а; + Q/, = 0.

(14.136)

Эти специальные представления необходимы для правильного описания ударных волн и для построения эффективного алгоритма решения уравнений. Преобразуя выражения (14.135) через потенциал скорости, получаем систему уравнений, которая может быть решена методом итераций. Специальные процедуры описаны в п. 14.3.5. Изложение данного метода следует в основном работе [Murman, 1973].

Разложением в ряд Тейлора k в окрестности узла (/, k) можно показать, что этот оператор аппроксимирует дР/дх в данной точке, но приводит к появлению искусственной вязкости.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 [ 71 ] 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка