Пропорциональной Ах. Поэтому переключение на разности против потока в сверхзвуковой области можно заменить явным введением искусственной вязкости в этих областях. Такой подход Б сочетании с методом конечного объема использован в работе JCaughey, 1982].

14,3.3, Полное уравнение для потенциала

Для стационарных трансзвуковых невязких течений более точные решения получены при использовании для их описания полного уравнения для потенциала (11.103). В двумерном случае это уравнение в безразмерной консервативной форме имеет

-ВИД

(pB + v(If) = °.

, дф

(14.137)

где - возмущение потенциала, а плотность р определяется уравнением (14.129). В дальнейшем штрих будет опущен. На поверхности тела должно выполняться условие дф/дп = О, означающее обращение в нуль нормальной к поверхности тела компоненты скорости. При удалении от тела возмущение потенциала стремится к нулю.

Уравнение (14.137) приводится к следующему дискретному виду:

+ , = 0, (14.138)

/> =[(р1г)/+1/2. k If)/-1/2. J лг +

-(pf),.

, k-l/2J

(14.139)

<pW)/+i/2.;fe=0.5(py + py+i) (y + i-y)/A и T д.; Гу,-искусственная вязкость, необходимая в сверхзвуковой области. Если направление течения в сверхзвуковой области примерно совпадает с направлением оси х, достаточно ввести искусственную вязкость только в направлении х. Тогда

[P/+I/2. ft ~/-1/2. k]

(14.140)

Pi + \I2. k = - (Ц/, k Х) [Lx (/, fe - 8/ i, fe)], XXTl, k - ~~~~

Ajc2

Как И раньше, р. - функция переключения, однако в рассматриваемом случае

г/2 чп

p. = min

[0,Р(1-)].

Таким образом, значение р изменяется гладко и отлично от нуля только в сверхзвуковой области.

Параметр г определяется выражением е = 1 - Я Ал:, которое обеспечивает второй порядок точности уравнения (14.138). Дополнительные диссипативные члены Г/, k аппроксимируют дР/дх где

Р = -ц[{1-г) Ахф + г АхФхА,

т. е. Т пропорционально ди/дх.

Если направление течения сильно отклоняется от оси х, при его описании с помощью уравнения для полного потенциала появляется определенная трудность. В этом случае возможна существование сверхзвуковых точек, в которых u<:,a<:,u-\-v Это приводит к тому, что искусственная вязкость становится отрицательной.

Это затруднение преодолевается путем введения дополнительных диссипативных членов, подобных Г/, д. в (14.138), связанных с локальным направлением потока. Наиболее просто это можно проиллюстрировать на примере уравнения (14.126), которое в естественных координатах приобретает вид (14.127), где

В сверхзвуковых точках центральные разности используются для аппроксимации фпп, однако для аппроксимации фхх,фхуУфуу,~ входящих в ss, используются следующие разности против потока:

Фхх =--.

.-- (14Л42>

. 2/. fe-1+.-2]

УУ ~~ At/2

Использованные точки указаны на рис. 14.30. Соответствующая схема для решения (14.137) более сложная, ее описание можно найти в работе [Jameson, 1978].

Искусственная вязкость может быть также введена путем модификации р в (14.139). В работе [Hoist, Ballhaus, 1979] по-

J-2 j-l J

- Jc

Рис. 14.30. Точки, используемые в (14.142).

казано, что (14.140) эквивалентно замене членов типа р/4-1/2, в (14.139) членами

Р/4-1/2, k = {l-Vf,k) Р/ + 1/2, k + V/. fep/-l/ . k, (14.143)

где v = max{0, [I - а/дЦ}, =u + v. Модификация плотности, подобная (14.143), часто позволяет построить более простой алгоритм для решения разностных уравнений.

J4,3.4. Трансзвуковые невязкие течения: обобщенные координаты

Расчеты течений около тел, подобных аэродинамическим профилям или лопаткам турбины, приводят к необходимости введения связанных с телом систем координат (см. гл. 12), в которых в расчетной области (рис. 14.31) поверхность тела совпадает с поверхностью постоянного значения преобразованной переменной, например ti-=tio. Методы построения соответствующих точек сетки х{1,г\) и у{1,г\) рассматривались в гл. 13.

В плоскости (I, Ti) уравнения (14.137) и (14.129) принимают

(pf/) + (pn=0, (14.144)

<)- = {l +0.5(Y- l)M[l (c/ + r)]p--, (14.145)

где U и - (контравариантные) компоненты скорости в направлениях I и Т1, связанные с потенциалом скорости соотноше-яиями

Г = А, + А..

(14,146)