y/j Итерация продолжается до тех пор, пока с некоторой допустимой точностью не будут выполняться равенства и = ~rms- После этого значения и+\ полагаются равными

На практике более эффективным, несмотря на формальное уменьшение скорости сходимости, оказывается не проведение таких итераций, а уменьшение шага Ах до величины, обеспечивающей необходимую точность.

Основной трудностью при использовании однородных по X и у сеток является необходимость введения специальных процедур для учета роста толщины пограничного слоя. Кроме того, для правильного описания распределения скорости вблизи стенки должны использоваться весьма мелкие в направлении у сетки, что становится особенно существенным при рассмотрении турбулентных пограничных слоев.

15.L2. LAMBL: ламинарный пограничный слой

Неявная схема, описанная в п. 15.1.1, использовалась при расчете пограничного слоя, возникающего при плоском обтекании двумерного клина однородным потоком (рис. 15.2).

Рис. 15.2. Течение около клина.

Эта задача относится к классу течений в пограничных слоях Фолкнера - Скан, обладающих автомодельным профилем скорости (см. [Schlichting, 1968]). В данном случае компоненты скорости являются функцией одной переменной

Ц = У

L (2 - Р) JCV J

(15.9)

1+/#+Р[-Ш1 = 0. 05.10)

где f{r\) связана с функцией тока соотношением

= [(2-)u,vxff{vi). (15.11)

Для обтекания клина скорость Ue(x) на внешней границе пограничного слоя задается формулой

i/ = cxP/(2-P). (15.12)

Точное численное решение для f{r\) при различных углах раствора клина р приведено Розенхедом [Rosenhead, 1964]. Здесь эти табличные данные будут использованы для задания начальных значений и и v и сравнения полученных результатов дальше вниз по потоку с точным решением.

Удобно ввести следующее обезразмеривание уравнений <15.1), (15.2):

где число Рейнольдса Re=f/rL/v, а L и t/ -характерные длина и скорость. Для данной задачи Vr соответствует значению Ue (15.12) при x = L.

Преимущество соотношений (15.13) состоит в том, что безразмерная координата у и нормальная составляющая скорости оказываются нормированными множителем Re/ таким образом, что они становятся величинами одного порядка z х н и соответственно. Уравнения (15.1), (15.2) с помощью (15ЛЗ) могут быть записаны в виде (штрихи опущены)

# + f = 0. (15.14)

Начальные и граничные условия задаются выражениями (15.3) и (15.4), которые надо рассматривать как уравнения для безразмерных величин. Однако граничное условие u = Ue{x) применяется при у = утаху ГДе f/max > б (б - ТОЛЩИНа ПОГранИЧ-

ного слоя).

Для обтекания клина безразмерная скорость на внешней границе пограничного слоя равна

f = jcP/(2-P). (15.16)

И система уравнений (15.1), (15.2) может быть сведена к одному уравнению вида

Для использования переменной в направлении у сетки различные производные по у в (15.15) дискретизируются по аналогии с (10.30) и (10.32):

ду - (Т+7УаР г КЮ.

где отношение двух соседних шагов сетки равно Гу = {у]-\- - yj)/{yi - yi-\)- Дискретное представление ди/дх имеет вид (15.5).

После подстановки (15.6) и (15.17) в (15.15) получается трехдиагональная система уравнений

а.и-±\ + Ь.и- + c.u-X\=d, (15.18)

P = ( / D(i+t;)A,- = 7ГГ

ft, = 1.5 (2ип - .-i) + (г ) р + (l + -;).

На стенке Ui = О и при у = уах и wjMAx = i/e. Уравнения (15.18), записанные в JMAX = 2 внутренних узлах, образуют трехдиагональную систему уравнений, в результате решения которой с помощью алгоритма Томаса (п. 6.2.2) могут быть найдены значения и+\

Для нахождения v+ уравнение неразрывности (15.14) интегрируется поперек пограничного слоя с использованием (15.8). Распределение скорости в пограничном слое находится последовательным решением уравнений (15.18) и (15.8) для всех х +\ расположенных вниз по потоку.

Описанная выше схема реализована в программе LAMBL (рис. 15.3). Поскольку ди/дх представляется трехслойной формулой (15.5), в качестве начальных условий необходимо на двух слоях задать и и v. В программе LAMBL начальные профили uo{y) и vo{y) задаются решением Фолкнера - Скан

ио{у) = иЛц\ t;o(y) = -(./(2-p)/x)/[/ + (P-- 1)ЛУ. (15.19)