Построение спектрального метода зависит от способа введения ортонормированных функций gi{u), заменяющих весовые и аппроксимирующие функции fk и е.

Ортонормированные функции gi{u) могут быть получены из весовых функций fk{u) в следующем виде:

g.( )= (15.74)

Коэффициенты ekj получаются в результате процесса ортонормирования Грама - Шмидта [Isaacson, Keller, 1966]. Функции gj удовлетворяют следующему свойству:

\gi{u)gi{u)w{u)du\= (15.75)

1=0, если 1 ФI.

Функция w(u) в (15.75) зависит от класса рассматриваемых задач. Конкретное выражение, соответствующее (15.73), будет приведено ниже. Коэффициенты Cki и, следовательно, ортонормированные функции gj необходимо определять лишь один раз. В (15.73) вводится следующее приближенное решение 0:

г N-\

L y=i J

(п. 15.3.3) И методом конечного объема STAN5 (Reynolds, 1976]. Результаты расчетов по программе DOROD других течений с обратным градиентом давления, описанных в трудах Стэнфордской конференции 1968 г., приведены в работе [Fletcher, Fleet, 1984b].

15.3.3. Спектральный метод в подходе Дородницына

Уравнение Дородницына турбулентного пограничного слоя (15.57) при определенном выборе весовых функций fk и функции в, аппроксимирующей решение, можно интерпретировать как спектральный метод Галёркина.

В применении к (15.57) спектральный метод может быть записан в виде

\bo+Y. bigAu)g,{u)jdu=C,y k = U Л, (15.77)

0 / = 1

. du 0 j =o

-e\-{+Ч)l®du. (15.78)

Из сопоставления (15.75) и (15.77) следует, что для использования ортогональности gj{u) следует положить

w{u) = ul{\-u). (15.79) Уравнение (15.77) тогда принимает вид

* + = ь =1, iV-1, (15.80)

Vk=\gk{u)w{u)du. (15.81)

При k = N

= C/Vn (15.82) и уравнение (15.80) можно представить в виде

= С,-Сл,-, =1, Л-1. (15.83)

dl -

Уравнения (15.82) и (15.83) представляют явную систему уравнений для определения коэффициентов в (15.76). Для решения данной системы в работе [Gear, 1971] предложена весьма эффективная схема предиктор - корректор переменного порядка с изменяющейся величиной шага.

Типичные решения, полученные по методу Дородницына в спектральной интерпретации (DOROD-SPEC), приведены на рис. 15.10, 15.11, 15.19 и 15.20. Данные решения получены

Здесь для обеспечения правильного поведения 0 на внешней границе пограничного слоя выделен коэффициент bo. Подстановка (15.76) в (15.73) с заменой fk на gk приводит к соотношению

при N=6 В (15.76), шаг маршевой переменной изменялся в пределах 0.000015 (Ах) 0.14. Из результатов видно, что данный метод позволяет получить высокую точность при сравнительно малом числе неизвестных в аппроксимирующей функции (15.76).

Метод использовался для расчета несжимаемых [Fletcher,. Holt, 1975] и сжимаемых [Fletcher, Holt, 1976] ламинарных пограничных слоев и для расчета несжимаемых турбулентных пограничных слоев [Yeung, Yang, 1981; Fletcher, Fleet, 1984b].

§ 15.4. Течение в трехмерном пограничном слое

При расчете трехмерных пограничных слоев возникают две основные трудности. Во-первых, хотя уравнения, описывающие течения, преимущественно параболические, наличие двух (поверхность) координатных направлений, по которым развивается пограничный слой, вводит в задачу гиперболичность . Во-вторых, поскольку трехмерные пограничные слои образуются, как правило, на искривленных поверхностях, необходимо введение системы координат, связанной с поверхностью.

В данном параграфе будут рассмотрены стационарные трехмерные пограничные слои. Обобщение представленных методов на нестационарные трехмерные пограничные слои можно найти в работе [Dwyer, 1981], а также в приведенных в этой работе ссылках на литературу. Стационарное несжимаемое ламинарное течение в трехмерном пограничном слое описывается уравнениями

i- + t+ lr -05.85)

где X и Z - декартовы координаты, локально параллельные трехмерной поверхности, а у -нормальная координата. На поверхности тела при у = 0 необходимо поставить граничные условия прилипания: u = v = w = 0. Известное давление или соответствующие ему скорости, определенные из уравнения Бернулли (11.49), обеспечивают граничные условия на внешней границе пограничного слоя.

Начальные условия могут понадобиться либо в одной точке как при обтекании тонкого наклоненного тела вращения, либо на линии торможения, что имеет место при обтекании крыла конечного размера. В принципе необходимо распределение всех